Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синдж Дж.Л. -> "Тензорные методы в динамике" -> 4

Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.

Синдж Дж.Л. Тензорные методы в динамике — М.: Иностранная литература, 1947. — 43 c.
Скачать (прямая ссылка): tenzorniemetodivdinamike1947.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 13 >> Следующая

котором точка соответствует конфигурации динамической системы, и Ь)
многообразие конфигураций и времени, в котором точка соответствует
конфигурации в данный момент времени. Легко видеть, 1*то многообразие
конфигураций применимо при изучении склерономных систем, а многообразие
конфигураций и времени-при изучении реономных. Для склерономных систем
пространство конфигураций может быть метризовано при помощи
кинематического линейного элемента
(2.1) dsi = 2TdP = aijdxidxJ, {atj - а/7),
где Т - кинетическая энергия; если система консервативна, то это можно
также сделать с помощью .линейного элемента действия*
(2.2) ds2 = (Е - V) a(J dxldx),
где Е - постоянная общая энергия, а V-потенциальная энергия системы.
Введение метрики в многообразие конфигураций и времени представляет собой
более тонкую задачу; она будет рассмотрена в §§ 7, 8. Полезно отметить,
что многообразие конфигураций с линейным элементом (2.1) или (2.2)
является рима-новым многообразием, определенным той динамической
системой, которую оно представляет, не только в малом, но' и в целом *).
Synge [6].
13
8. МНОГООБРАЗИЕ КОНФИГУРАЦИЙ С КИНЕМАТИЧЕСКИМ ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ДЛЯ С.
Г. СИСТЕМ:
ds2 - 2Tdfi = atjdx' dxJ.
а) Кинематика1). В римановом N-мерном пространстве абсолютная
производная контравариантного вектора А! вдоль кривой xl=xi (а), где а -
параметр, определяется формулой
Если v = t, мы можем говорить о производной А1 по времени. Скоростью
системы будем называть контравариантный вектор
Если \1-единичный вектор касательной к траектории, -¦ единичный вектор
главной (первой) нормали, а А - (первая) кривизна, то, согласно первой
формуле Френе,
вленной по касательной, и компоненты kv2, направленной по главной
нормали, как и в элементарной динамике точки.
Верхние индексы могут быть, конечно, опущены с помощью фундаментального
тензора а.у. мы получаем ковариантную запись векторов скорости и
ускорения
(3.1)
(3.2)
vl = dx'jdt,
а ускорением - его производную по времени
(3.3)
f' = bv'lbt,
Модуль скорости равен при этом
1
(3.4)
v = (aljVtv>)2 = ds[dt.
(3.5) Но
(3.6)
V1 = V')/,
и, следовательно,
(3.7)
f = v\'-f-A'i'V, (v = dvjdt).
Таким образом, ускорение слагается из компоненты V, напра-
(3.8)
vl = al] vl, f{ = atj fL
!) Hertz [1], гл. 7; Synge [1J.
14
Легко непосредственно показать, что
/ч д\ _f? &[_ дТ ,
(,) dtdxi 6xi~fi'
Это уравнение осуществляет связь между лагранжевым и тензорным методами.
b) Уравнения движения1). Из (1.3) и (3.9) следует, что уравнения движения
могут быть записаны так:
(3.10) fi - Xi, или /'' = Xi .
Или словами: ускорение равно силе - замечательное обобщение второго
закона Ньютона.
Если мы подставим значение р из (3.7), то уравнения движения примут
форму:
(3.11) vV -f- koH =Xl .
Это показывает, что три вектора: вектор силы, вектор касательной к
траектории и вектор главной нормали компланарны (т. е. лежат в двумерном
линейном многообразии).
Уравнение движения может быть записано также и в таком виде:
или, если выбрать s за независимую переменную, в виде
(3.13) {i'=d4- bk'=i).
c) Устойчивость3). При изучении устойчивости движения системы мы
рассмотрим однократно бесконечное множество (оо1) траекторий, образующих
двумерное пространство V2; уравнения этих траекторий запишутся так:
(3.14) х'=х1(з,т),
где о - параметр, изменяющийся вдоль каждой траектории, а т - параметр,
постоянный для всех точек данной траектории. Точки траекторий мы будем
называть соответственными, если они получаются при одном и том же
значении параметра о.
J) Wright [1]; Н о г a k [1]; Synge [1]. См. также Hertz [1], точка
зрения которого отлична от встречающейся в современных сочинениях.
2) Synge [1J.
15
Из тензорного анализа известно, что если А1 есть векторное поле на
поверхности V2, то
(3.15)
гм'
ооЗт
j*At_
01&Я
lyVJ 0х' \jk\ ^ К] Переходя для простоты к обозначениям
(3.16)
дх'
дз
Ы оо '
dxt
dz
Ixl от '
положим
(3.17)
А( ¦¦
ext
:17"
Принимая во внимание, что
$2 w*
<3-18) *ж=ет.*
получим в силу (3.15)
,Q 1П. I2 дх1 S S2x' . ni дх/дхк дх' _
(ЗЛ9) 13 ТТ- + ==0-
Введем в рассмотрение вектор
(3.20) е'=^Гл*
т. е. вектор бесконечно малого смещения, соединяющий точку (а, т) одной
траектории с соответствующей точкой (а, т-|-о/г) близкой траектории.
Равенства (3.19) могут быть теперь записаны так:
П9П т л-р< дх1 ~'<дх' ИТЬ 1*х'
<3-21) |?+^"-575
16
При исследовании устойчивости динамической системы особый интерес
представляют два способа задания соответствия между точками траектории1):
1. .Изохронное соответствие*.
2. .Соответствие по нормали*.
Используя изохронное соответствие, мы полагаем s = t. Тогда на основании
(3.12) получим:
/о 991 dxJ i j o*xJ o-xJ
(3.22) - = v=vlJ, - = -^ = A',
и (3.21) может быть записано так:
(3.23) % + v*R[]kl)№=X[i?,
где X\j ковариантная производная вектора X1.
Интересно проследить за изменением длины
(3.24)
вектора смещения. Введем в рассмотрение единичный вектор р/ направления
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 13 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed