Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
наименьшего действия, выражает собой тот факт, что траектория
консервативной склерономной голономной системы является геодезической
линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия.
Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид:
Если исключить то обстоятельство, что линейный элемент действия не всегда
будет положительно определенным во всем многообразии конфигураций (хотя
это несомненно имеет место в той области, которая соответствует движению
системы), все же исследование движения консервативной системы с линейным
элементом действия содержит в себе глубокое сходство с изучением движения
соответствующей системы с кинематическим линейным элементом, не
находящимся под воздействием сил, так как траектория, соответствующая
движению без воздействия сил, представляет собой геодезическую линию
кинематического линейного элемента. В силу этих соображений мы лишь бегло
коснемся случая линейного элемента действия.
Ь) Устойчивость1). При использовании линейного элемента действия
изучение устойчивости движения совпадает с изучением отклонения
геодезического смещения в римановом пространстве. Как было уже замечено,
это исследование может быть рассмотрено как частный случай проведенного в
§ 3 рассуждения; основное уравнение длэ соответствия по нормали имеет
вид:
(5.2) +
где ?* - бесконечно малый вектор смещения, V - единичный касательный
вектор невозмущенной траектории, a Rjhi- тензор кривизны, вычисленный,
разумеется, для линейного эле-
*) Levi - Сivita [1], [2]; Synge [1], [5], [7]; Bortolotti [1? Wundheiler
[1].
24
мента действия. Для длины ? вектора смещения будем иметь уравнение
где К-риманова кривизна для элементарной площадки, определенной векторами
V и V, а р/ - единичный вектор направления il. Что именно следует
понимать под словом "устойчивость", представляет собой вопрос
определения, связанный с физическими соображениями. Представляется
желательным, тем не менее, чтобы мы могли утверждать, что имеет место
неустойчивость в случае, если К отрицательно для площадок всех возможных
ориентаций. В то же время положительность К для всех ориентаций оставляет
еще сомнительным вопрос о наличии устойчивости. Вопрос об устойчивости
становится определенным в случае установившегося движения '),
соответственным образом определенного, так как в этом случае мы имеем
дело с уравнениями с постоянными коэффициентами.
6. МНОГООБРАЗИЕ КОНФИГУРАЦИЙ С ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ
КОНСЕРВАТИВНЫХ С. Н. СИСТЕМ:
ds* - (Е - V) al} dx'dx>.
а) Уравнения движения2). В силу неголономности связей траектории не
будут в этом случае геодезическими многообразия конфигураций. Общие
соображения вариационного исчисления приводят нас к исследованию двух
типов кривых: 1) кривых, удовлетворяющих связям и имеющих экстремальную
длину для вариаций, которые удовлетворяют связям; 2) кривых,
удовлетворяющих связям и имеющих экстремальную длину по сравнению с
близлежащими кривыми, также удовлетворяющими связям. Эти два типа кривых
были хорошо знакомы Герцу (Hertz) [1] и были недавно изучены Франклином и
Муром (Franklin and Moore) [1]. На основании принципа наименьшего
действия в форме Якоби, приложенного к системам со связями, можно
утверждать, что динамические траектории являются кривыми именно первого,
а не второго типа.
Мы видели, что первая нормаль к траектории лежит в векторном пространстве
Ем, порожденном векторами связи, и, следовательно, по соображениям,
подобным тем, которые были
(5.3)
Ч Synge [1], [7].
") Synge [1], [2]; Vranceanu [1], [3]; Wundheller [2].
25
изложены в § 4, а, уравнения движения могут быть записаны в таком виде:
(6Л> = k =0' где
(6.2) г;*=^+1 Ф(в) (Ф(в)л+ф(в)4/).
\1 означает здесь единичный касательный вектор, а Ф^) - единичные
ортогональные векторы связи.
b) Принцип наименьшей кривизны!). Здесь имеет место теорема о наименьшей
кривизне, такая же, как в 4, Ь, с тем лишь изменением, что свободная
траектория С становится теперь просто геодезической, так что
относительные кривизны k'. k' заменяются здесь абсолютными. Едва ли нужно
напоминать, что при употреблении линейного элемента действия
рассматриваются только движения с заданной полной энергией Е.
c) Устойчивость2). С помощью метода, использованного в § 4, с, мы находим
для соответствия по нормали, что
(6.3)
где ?* - бесконечно малый вектор смещения, \1 единичный вектор
касательной к невозмущенной траектории, Fljki-тензор кривизны для 1%,
определенных формулами (6.2).
7. РЕОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Аналогия между многообразием конфигураций и времени, с одной стороны, и
пространственно-временным многообразием теории относительности - с
другой, побуждает нас перейти к общей системе координат х°, х',
определяемой формулами:
,71) x0=/0(x1, х2,..., дF,t),
'*
При таком преобразовании время перестает быть привилегированной
координатой в многообразии. Это сделано в работах Г о р а к a (Horak)
[7], [8], которые содержат также переход к
