Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
к0— ±Ук2-г (р — ie)2
= ±У^+\
? te
= ±/к2+р2 +ie", (13.128)
т. е. полюс в точке — cot смещается вверх, а полюс в точке -f- cok
смещается вниз, что и должно быть.
Для полноты приведем здесь еще интегральные представления сингулярных
функций Аа(х) и Ar(x):
-ihx
-d*k
(13.129)
Ад (as) =
-ih-x
?dlk.
(13.130)
(2я)4 .' А-2 — р2
CR
Контуры интегрирования CA и Ср показаны на фиг. 28. При .Го>0 можно
замкнуть эти контуры большим полукругом в нижней полуплоскости. Тогда мы
получим
Л.4 (я) = 0
Ад (х) — — А (х)
при х0>0, при ж0>0.
(13.131)
Аналогично, при ж0<0 эти контуры можно замкнуть в верхней полуплоскости.
В этом случае
Аа (as) = А (ж) при х0<0,
(13.132)
Ав(*) = 0 при ж0<0.
Поэтому эти сингулярные функции называют «запаздывающей» и «опережающей».
Из их определений следует, что
А (х) = Ад (х) — Ад (х) (13.133)
и
Аа (х) = Ад ( — х). -(13.134)
§ 4. Интегральные представления для инвариантных функций 427
Сингулярная функция А(х), которая является четной функцией от времени,
определяется выражением
А(х) = -|-(Да(ж)-)-Дн(ж)), (13.135)
так что
А (х) = + -4- А (х) при ?0<О, (13.136а)
2
= ^-А(х) при ?0>0, (13.1366)
или
А(х) =----~г(х)А(х). (13.137)
Функции А и Д(1> широко использовались в работах Швингера [709, 711, 712,
713].
Функции Ар(х), А (ж), А А(х) и Ар (х) удовлетворяют неоднородному
уравнению Клейна — Гордона с 6(4> (х) в качестве функции источ-
ника. С другой стороны, функции Д(±)(:г), А(х) и А^^а;) подчиняются
однородному уравнению Клейна — Гордона.
Функция SF связана с функцией А/ соотношением
SF (х) = — (iy-д -т- т) AF (х), (13.138)
так что
Ср
2 i
,2„,. I <13.139)
Ср
Функции Д(1)5 1S'(±)i Sa, SR и т. д. связаны с соответствующими функциями
Д(1), Д(±>, ДА, Аи и т. д. соотношением, аналогичным (13.138).
ГЛАВА 14
Диаграммы Фейнмана
Чтобы освоиться с формализмом Д-матрицы в картине Дирака т научиться
свободно, не прибегая всякий раз к теореме Вика, выписывать матричные
элементы, мы рассмотрим несколько примеров, которые позволят вывести
некоторые общие правила.
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
Рассмотрим сначала взаимодействие электронно-позитронного поля с заданным
внешним электромагнитным полем. В этом случае плотность-гамильтониана
взаимодействия есть S^i (х) = /ц (х) 4С|г (х), и Д-матрица дается
выражением
(ф fo) (*i) Ф (si))+
+ j ^ <№х{Г (А (ф (а^) уМ'ф Cx'i) Ф (ay)) X
X А (ф (х2) уМ^ (х2) ф (х2)) + . . . . (14.1)
Рассмотрим член первого порядка А (ф (а^уВф (а:))Ае|г(а:). Ранее мы уже
выписывали формулу для нормального произведения спинорных множителей.
Будем теперь изображать входящие в нормальные произведения операторы
рождения и уничтожения линиями, которые для электронов направлены вверх
(в направлении возрастания времени), а для позитронов — вниз (в
направлении убывания времени). При этом
1) оператор ф(—> (х), соответствующий рождению электрона в
пространственно-временной точке х, представляется направленной линией,
выходящей из точки, а: вверх, как показано на фиг. 29, а;
2) оператор ф(+> (х) (уничтожение электрона в точке х) представляется
направленной вверх линией, приходящей в точку х (фиг. 29, б);
3) оператор ф(+> (х) (уничтожение позитрона в точке х) представляется
линией, выходящей из точки х и направленной вниз (фиг. 29, в)\
4) оператор ф(—> (х) (рождение позитрона в точке х) представляется
линией, направленной вниз и приходящей в точку х (фиг. 29, г).
На пространственно-временнйх диаграммах направлению возрастания времени
будет отвечать направление вверх, как показано на фиг. 29.
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
429
Наша договоренность о направлении позитронных линий согласуется с
описанием позитронов у Фейнмана [251, 252] как электронов, движущихся
обратно во времени.
При таком описании операторы ф представляют линиями, выходящими из точки
х (вверх или вниз), а операторы ф — линиями, приходя-
t
Время
Пространство ?
5
Фиг. 29.
щими в точку х. Видно также, что линии, соответствующие
положительночастотным операторам, расположены ниже точки х, а линии,
соответствующие отрицательно-частотным операторам, находятся выше (позже)
точки х. Тогда член первого порядка в разлояюнии S-матрицы можно
представить четырьмя диаграммами Фейнмана, которые изображены на фиг. 30.
J'+yv<+,(ii) +(-'4f+w(xi) ’to)
Фиг. 30.
При этом подразумевают, что в точке ж1 должно действовать внешнее поле.
Иногда внешний потенциал изображают явно, представляя его волнистой
линией с крестом на конце. При такой договоренности диаграммы,
изображенные на фиг. 30, будут выглядеть так, как показапо на фиг. 31.
Рассмотрим теперь член второго порядка. Используя теорему Вика и выражая
спаривание двух спинорных множителей через функцию распространения
Фейнмана —YzSp = К+, получаем (опуская множители Ае)
Т (N (фа (Zj) фз (Zi)) N (фр (х2) фа (х2))) =
= N (фа (Xi) Фз (жО фр (ж2) фа (ж2)) ф- N (фа (xt) К+&р (xt — х2) фа
(х2)) ф-
+ N (Фр (Х2) К+а« {Х2 — Х^ фз (Ж!)) - ^+3p (xt — Ж2) К+аа (х2 — Ж,).
