Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
они теперь не отличаются друг от друга, поскольку фермионные множители
всегда входят только парами, в которых оба множителя относятся к одному и
тому же моменту времени.
Г-произведение, в котором имеются TV-произведения, называют смешанным
произведением. Вик обобщил теорему (13.100) и на такие смешанные
произведения. Эта теорема гласит:
§ 4. Интегральные представления для инвариантных функций 423
Теорема. Смешанное Т-произведение можно разложить, согласно формуле
(13.100), но при этом следует опустить спаривания между уже /V-
упорядоченными множителями.
Доказательство теоремы основывается на следующем приеме. Предположим, что
мы использовали дистрибутивный закон для приведения смешанного Г-
произведения типа (13.111) к сумме таких смешанных Г-произведений, каждое
из которых содержит только операторы рождения или уничтожения X, Y, Z (т.
е. только Л(+>, ф(+), ф(~> и т. д.,
но не А, ф или ф). Затем можно рассматривать смешанное Г-произведение Т
{N (RST).. .N(XYZ)}, где под знаком каждого /V-произведения все три
множителя, например XYZ, относятся к одному и тому же моменту времени,
как предел такого Г-произведения Г (RST. . .XYZ), в котором внутри каждой
из троек RST, ..., XYZ момент времени, к которому относятся операторы
рождения, превышает на бесконечно малую величину момент времени, к
которому относятся операторы уничтожения. Теперь можно применить теорему
(13.100). Так как спаривания, которые должны быть опущены по теореме
для смешанных
7’-произведений, исчезают фактически (операторы уничтожения относятся к
более раннему моменту времени, чем операторы рождения), то теорема
доказана.
В псевдоскалярной мезонной теории, где
SYi (х) = 4"С[Ф WVs, Ф (*)] Ф {x) — GN (ф (х) у5ф (х) ср (z)), (13.112)
по теореме Вика для смешанных произведений также не нужно в каждом
(J/?h{x) спаривать операторы ф (х) и ф (х).
§ 4. Интегральные представления для инвариантных функций
При спаривании двух бозонных операторов возникает функция
ЛИ*) = { +2iA<+'M ”Р“ *.>о. (13.Ш)
L — 2i Л(_) (я) при ;г0<0.
Напомним, что
А (х) = Д<+) (х) -j- (х) (13.114)
и
Д<+) (дг) = -|- [Д (jt) — iAt*) (ас)], (13.115)
Д(-)(ж) = -|-[Д(а:) + 1Д<1)(л-)]. ./ (13.116)
Ранее, в гл. 7, были определены сингулярные функции А, ДВ) и Д<±).
Используя их, можно дать и другое выражение для функции AF:
Ар (х) = ДВ) (х) -f ie (х) А (х), (13.117)
где е (х) = х0/\ х01. Так как Д(1)(х) есть четная функция от
х, а А (х)
и е (х) — нечетные, то Д^ (х) — четная функция от х. Вне
светового ко-
нуса А(х) равна нулю, тогда как ДВ)(а;) отлична от нуля. Поэтому вне
светового конуса функция AF (х) также не равна нулю и фактически
совпадает с Д(1)(;г).
424
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
Чтобы получить интегральное представление функции &F(x), напомним
интегральные представления функций А(х) и ДО) (х):
+ 00
А (х) =-(2^х)з“ 5 dike~ih'x& (к2 — р,2) е (к), (13.118)
+ СО
ДО) (я) = _JL_ ^ d*ke-ih,x& (к2 — р2). (13.119)
— ОО
Полностью эквивалентные определения этих сингулярных функций даются
выражениями
с
XT
4<1>М = -(2(13.121)
Cl
В этих выражениях сначала надо проинтегрировать по переменной кй. Контуры
интегрирования С и Ct в комплексной плоскости к0 изображе-
ны диаграммами а и б фиг. 25. После этого следует провести интегрирование
по вещественным переменным к1, /с2 и ks.
Аналогично, представление
= ^ e~ih-xb (k^ — ii^d^
fc3>0
(13.122)
§ 4. Интегральные представления для инвариантных функций.
42S
можно заменить при :г0>0 следующим интегральным представлением:
-ik • х
Л'2 —р2
d4/c
при г0>0.
(13.123)
Контур интегрирования С+ идет вдоль вещественной оси fc0, обходя
сингулярность при к0= — ]/к2 + ц2 = — сок снизу, а сингулярность при /to
= шк — сверху, и замыкается большим полукругом в нижней полу-
Ф и г. 26.
плоскости (фиг. 26,а). При г0<0 функция Д(_) (х) имеет следующее
интегральное представление:
-ih-x
ДС
С-
к2 — р2
<24/с при я0<0.
(13.124)
Контур интегрирования С_ изображен на фиг. 26, б. Исходя из определения
(13.113) функции Др-, можно построить для нее следующее
+<*)к Плоскость
К
Ф и г. 27.
интегральное^представление:
d*k
k2 —- р2
-ik-x
(13.125)
Контур интегрирования Ср показан на фиг. 27. В самом деле, при ?о>0 можно
замкнуть контур в нижней полуплоскости и тогда в согласии с формулой
(13.123)
Др- (х) = 2i Д(+) (а:) при ?о>0. (13.126)
426
Гл. 13. Прцведение S-матрицы к нормальной форме
Замкнем контур в верхней полуплоскости и найдем AF (х) = — 2гД(~)(а;) при
х0<0,
(13.127)
что согласуется с данным ранее определением (13.113).
Тот же результат, который получается при интегрировании по контуру Ср,
можно получить при интегрировании по вещественной оси от —со до +°°1 если
добавить к массе р малую отрицательную мнимую добавку, которую следует
устремить к нулю после выполнения
интегрирования. В этом случае знаменатель в формуле (13.125) превращается
в к2—p2-(-ie. Добавление малой отрицательной мнимой добавки к массе
смещает положение полюсов. Теперь они оказываются в точках
