Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(14.2)
На диаграммах Фейнмана первый член в правой части равенства соответствует
совместному возникновению любых двух элементарных процессов
430
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
из числа представленных на фиг. 30. Некоторые из возможных процессов
приведены на фиг. 32.
Уничтожение пары во внешнем поле
Рассеяние позитрона на внешнем поле
Рассеяние электрона на внешнем поле
Рождение пары во внешнем поле
Ф и г. 31.
Если представить множитель К+ {х^ — х2) = — VzSF {х^ — х2), который
возникает при спаривании операторов ф (хд) и ф (х2), внутренней линией,
направленной от точки х2 к точке xi} то член
ЛГ (ф (х,) Ае fa) К+ (Х1-хг) Ае (х2) ф (хг)) (14.3).
даст четыре диаграммы, изображенные на фиг. 33. Эти диаграммы
соответствуют поправкам второго порядка (два взаимодействия с внешним
полем) к рассеянию электрона и позитрона (диаграммы на фиг. 33, а и б), а
также.
Рассеяние позитрона на внешнем Рассеяние электрона,
поле, сопровождаемое сопровождаемое
рождением пары уничтожением пары
Фиг. 32.
рождению и аннигиляции пары во внешнем поле (диаграммы на фиг. 33, в и
г). Наряду с каждой диаграммой, изображенной на фиг. 33, существует и
другая диаграмма, в которой переставлены точки Xi и х2. Этот факт
проявляется в явном виде при изучении третьего члена в правой части
равенства (14.2). Третий член приводит к диаграммам Фейнмана, которые
совпадают с диаграммами, показанными на фиг. 33, если переменить
наименование пространственно-временных точек. Так как xt и х2 являются
немыми переменными, по которым производится интегрирование, тт> можно
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
431
объединить второй и третий члены в равенстве (14.2). Тогда появится
множитель 2!, который сократится с множителем Уг1, стоящим перед членом
второго порядка в разложении ^-матрицы (14.1).
Наконец, последний член в равенстве (14.2)
Sp (# (xt)К+ {Xi - х2) Ае (х2) К+ (х2 — Xi)
представляется диаграммой на фиг. 34. Он описывает вакуумный процесс, в
котором электронно-позитронная пара сначала рождается, а затем анни-
Ф и г. 33.
гилирует. Соответствующий матричный элемент, равный
х 2 ^en(Xi)Aev(x2){(yi1)ae(yv)paK+&p(xl — X2)K+aa,(x2 — xl)}=^ aPga
= dlXi S Sp {Де (^j) АГ+ (а:± — х2) Же (х2) К+(х2 —xt)},
(14.4)
должен интерпретироваться как амплитуда вероятности вакууму-остаться
вакуумом, т. е. вероятности того, что ни в начале, ни в конце нет частиц.
При вычислении этого матричного элемента оказывается, что он имеет
независимо от поля бесконечную мнимую часть. Позже мы подробно
проанализируем эту трудность. ~ ^
Из этих примеров ясно, что существует взаимно однозначное соответствие
между разложением на сумму нормальных произведений и диаграммами
Фейнмана, еслп считать различными диаграммы Фейнмана, отличающиеся только
наименованиями вершин. Следует тщательно относиться к выбору правильного
знака матричного элемента, соответствующего
432
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
каждой диаграмме; разложение Вика автоматически приводит к правильному
знаку. Большим преимуществом подхода Фейнмана является то, что диаграммы
а и б на фиг. 35 описываются одним единственным членом
^ dixx ^ (ай) Ае (ай) к+ (Xl — х2) Ае (х2) ф<+> (х2),
т. е. диаграммы с различным хронологическим упорядочением описываются
одним и тем же матричным элементом. Поэтому количество Xt диаграмм
значительно меньше, чем при
не зависящем от времени подходе, описанном в § 2 гл. 13.
K+{xi—x2) В качестве примера рассмотрим амплитуду рассеяния позитрона на
внешнем поле в низшем порядке теорий возмуще-
ний. Пусть начальным состоянием будет Ф и г. 34. ,
I Фг) = d*! (Pi) | Фо)! (14.5)
и пусть нас интересует рассеяние в конечное состояние
|Ф/> = ^2(р2)|Ф0>. (14.6)
В первом порядке по внешнему потенциалу амплитуда вероятности для этого
процесса равна
М = (ф,, (1 Sa)) Ф;). (14.7)
Рассмотрим
М(1> = (Ф/, Sa>Фг) =
= \ d*xi № (Рг) Фо, N (Ф (ай) Ае (ай) ф (ай)) d*Sl (р4) Фо). (14.8)
Если разложить нормальное произведение, то отличный от нуля вклад будет
давать только член разложения — фр~} (а:4) (а^); оператор ф« ’
(^й)
Фиг. 35.
уничтожает позитрон в начальном состоянии, а оператор фр ’ (ай) рождает
позитрон в конечном состоянии. Далее, согласно формулам (8.45) и (8.47),
- Фр-’ (аж> (х) = - ^ ^ d3p [ d3p' (mwkр'Т)1/2 Х
2
х 2 up(p) Ua(p')ei(P-P')-*d* (р)йЛр'). (14.9)
Г, S=1
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
433
Отсюда
М№-
Ё (p)?(pV
У/2
ег(р-р')-*1 х
X У, ? (р') Ле (Zi) vr (р) (Ф0, dS2 (р2) d* (р) ds (р') d*Sl (р,) Ф0) =
Г, S—1
(14.10)
(14.11)
X vSl (pi) Ае (х^ vS2 (р2).
Если ввести обозначение
Ч (Я) = ^ d*xeiq'x А\ (х)>
то матричный элемент приобретет вид
м<1> =-? (ёТр™ё(р2) )1/22ш’^ (Р‘) * (Р2-Р‘) ^ =
= ~ i С Ё'(РО ^(РгУ )1/2 2я/^2 ^ * (/>2 ~ ^ ^ (Pi) ’ (14-12)
где через нс обозначен зарядово-сопряженный спинор. Отметим, что в
отличие от случая рассеяния электрона вместо знака плюс появился знак
минус. Множители (т/Е (р))1/2 являются нормировочными множителями
