Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Они соответствуют двум диаграммам, изображенным на фиг. 37. (Внеш-
нее электромагнитное ноле действует в точках xlt х2 и х3.)
Обратим внимание на знак минус перед выражениями (14.47). Он возник
потому, что при спаривании первого и последнего фермиоя-ных множителей
всегда приходится делать нечетную перестановку множителей фиф. Этот знак
минус имеет то же происхождение, что и знак минус перед последним членом
в правой части равенства (14.2). Вообще любая имеющая вид -замкнутой
петли диаграмма Фейнмана приводит к множителю — 1 перед соответствующим
ей матричным элементом.
Таким образом, матричный элемент, соответствующий диаграммам на фиг. 37,
имеет вид
-^г(-Йг)8 $ di\
X [Sp {Ае (хj) К+ (х4 — х2) # (х2) К+ (х2 — х3) Ле (х3) К+ (х3 — х4)} + -
f Sp {Же (xi) К+ (xt — х3) # (х3) К+ (х3 — х2) Ле (х2) К+ (х2 — х4)}].
(14.48)
Хотя при помощи замены переменных можно привести первый и второй члены к
одинаковому виду, тем не менее по причине, которая вскоре выяснится, мы
сохраним для матричного элемента выра-
жение (14.48).
Покажем теперь, что матричный элемент (14.48) равен нулю. Для
доказательства используем существование унитарной антисимметричной
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
439
матрицы С со следующими свойствами:
С-гу^С = — у»Т, С*С = СС* = 1, Ст= - С.
(14.49а)
(14.496)
(14.49в)
Подставляя в первый член формулы (14.48) множитель С~1С = 1, получаем
так что два члена в выражении (14.48) взаимно уничтожаются, и,
следовательно, М® = 0. Фактически, конечно, каждый член в отдельности
равен нулю, так как заменой переменных можно преобразовать правую часть
равенства (14.52) к исходной форме — левой части равенства (14.50). При
этом окажется, что рассматриваемый след равен самому себе со знаком
минус, т. е. равен нулю.
Взаимное уничтожение двух членов в равенстве (14.48) допускает следующее
физическое толкование. Можно считать, что первый член, соответствующий
диаграмме на фиг. 37, а, описывает распространение электрона в одном
направлении, а второй член, соответствующий диаграмме на фиг. 37,6,
описывает распространение электрона в противоположном направлении. Однако
при обращении направления движения электрон ведет себя подобно позитрону.
Поэтому меняется знак его заряда и, следовательно, знак каждого
взаимодействия с внешним потенциалом. Следовательно, сумма вкладов от
этих двух диаграмм равна нулю. Подобным же образом матричный элемент,
соответствующий диаграмме, в которой имеется замкнутая петля с нечетным
числом вершин, равен пулю в самом общем случае. Эта теорема принадлежит
Фарри [29111).
Обозначим, следуя Фейнману, сумму матричных элементов, соответствующих
связным диаграммам с замкнутыми петлями, через —L,. т. е.
Мы поставили знак минус, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы имеем дело с
замкнутыми петлями. Помимо этих одиночных петель, возможно рождение двух
независимых пар, каждая из которых может затем аннигили-
*) Общее и четкое доказательство теоремы Фарри читатель может найти в
монографии Ахиезера и Берестецкого [3].— Прим. ред.
(14.53)
П
440
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
ровать. Вклад от таких пар петель равенL2/2!, поскольку^ L? каждая пара
петель учитывается дважды. Поэтому полная амплитуда перехода вакуума в
вакуум имеет вид
(ф0, J6D0) = 1 — L + + •.. = e~L; (14.54)
L имеет бесконечную мнимую часть, соответствующую собственной энергии
вакуума. Эта бесконечность, однако, не оказывает влияния на
постоянную нормировки так как вероятность того, что вакуум останется
вакуумом, дается выражением
| (Ф0, ^Ф0) j2 = ехр ( — 2 Re L), (14.55)
а вещественная часть L, вообще говоря, конечна. Другими словами, если бы
мы включили в гамильтониан взаимодействия член вида AEq, соответствующий
сдвигу уровня состояния физического вакуума относительно
Фиг. 38.
состояния «голого» вакуума, то для статического поля АЕ0 = ha L/T1). [Т —
интервал времени (вообще говоря, бесконечный) между начальным и конечным
состояниями, т. е. U (Т, —со) = tS1.] Член АЕ0 подбирается так, чтобы
уничтожить расходимости в lm L.
Рассмотрим теперь рассеяние электрона в третьем порядке теории
возмущений. Кроме троекратного взаимодействия с внешним полем (фиг.
38,а), возможен процесс однократного рассеяния на внешнем поле,
сопровождаемый не связанным с ним вакуумным процессом (фиг. 38,6).
Матричный элемент перехода из состояния р в состояние q, соответствующий
диаграмме Фейнмана на фиг. 38, б, можно записать в виде
(?q |^СЗб) | р) = (q | R(v | р) (0 | Sw | 0), (14.56)
где (q | R (1) ] p) —матричный элемент в первом борновском приближении,
соответствующий однократному рассеянию, т. е.
(g|KQ,|p) = 2m(1^-) (us (q) (q р) ur {р), (14.57)
х) Тот факт, что в случае статического внешнего поля, когда Ае(х)— Ае
(х), L пропорционально Т, может быть доказан путем введения в матричный
элемент Му в качестве новых переменных интегрирования относительных
времен х10—х.>0,
х20—хзо и т- Д- Например, введем в выражение (14.4) переменные
