Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрим сначала в качестве примера простой термодинамической системы совершенный газ, однако предварительно напомним читателю некоторые общие результаты, справедливые для произвольной однофазной системы. Говорят, что однофазная система участвует в дифференцируемом процессе, если переменные состояния системы V = V (t), T=T(t) и т. д. являются дифференцируемыми функциями времени. При обратимом процессе, т. е. при процессе, в котором система в любой момент времени находится в равновесии с окружающей средой, приток тепла Q(t) к системе определяется при помощи формулы
(см. п. 32). Большой интерес представляют теплоемкости однофазной системы 1)
Так как cv= T(dS/dT)v и ср= T(dS/dT)p, то обе эти теплоемкости являются переменными состояниями. Из экспериментов установлено, что
Это условие мы примем в качестве дополнительного постулата, описывающего структуру однофазной системы.
В дальнейшем нам понадобятся также известные формулы:
dQ = dE-f- pdV
и с
р
(30.2)
(30.3)
(30.4)
') Если однофазная система имеет единичную массу, то теплоемкости называются удельными теплоемкостями.
90
Гл. 4. Термодинамика и уравнение энергии
доказательство которых можно найти в любом курсе термодинамики. Заметим, кроме того, что
формула (30.6) доказывается аналогично формуле (30.5). Легко проверить, что из формул (30.4) — (30.6) и условия (30.2) следует, что
В п. 37 будет введено еще одно дополнительное предположение термодинамического характера, однако до тех пор будет достаточно сформулированной выше системы постулатов.
Мы не ставим своей задачей изучение многокомпонентных фаз (теорию таких систем вряд ли можно рассматривать как часть классической механики жидкости), но нам представляется полезным указать те необходимые изменения в приведенных выше формулировках, которые позволили бы включить в рассмотрение такого рода системы. В частности, основное уравнение состояния следовало бы записать в более общем виде
где величина Mi (/=1, ..., Р) определяет количество/-го вещества в данной фазе. Так как увеличение всех величин М/ в одно и то же число раз не меняет состава фазы, то функция Е должна быть однородной функцией первой степени относительно переменных Ml. Определив теми же соотношениями, что и раньше, температуру и давление, мы вместо формулы (30.1) получим формулу
где ці = — дЕ/дMi. Определение функции Q (t) для дифференцируемого процесса остается прежним, сохраняют свою силу также соотношения (30.2) — (30.7), если понимать под частными производными величины, вычисленные при фиксированных значениях переменных Mi.
31. Совершенный газ. Было замечено, что уравнение состояния многих реальных газов, включая воздух, более или менее точно аппроксимируется формулой
(дР\ _д(р, У) = д(р, V) д(р, Т)_ \дТ)у - д (Г, V) д (р, Т) д (Т, V) " (dp/dV)s t cv ~ (dp/dV)T 9
(30.6)
(30.7)
Е = Е (S, Vt Mi),
(30.8)
TdS = dE + pdV + iii dMit
pv=m,
(31.1)
где cR — положительная константа. Несложные рассуждения кинетической теории показывают, кроме того, что соотношение (31.1) естественно с теоретической точки зрения.
31. Совершенный газ
91
Таким образом, хотя в природе нет вещества, для которого соотношение (31.1) выполняется точно, изучение свойств гипотетического вещества, удовлетворяющего уравнению (31.1) и называемого совершенным газом х), полезно со многих точек зрения.
Соотношения между другими переменными состояния совершенного газа легко получаются из формул (30.3) и (30.4). В частности, мы находим, что
ср cv = e&'
Отсюда следует, что Е = Е (7), а так как cv — (дЕ/дТ)у> то и cv = cv(T). Для одноатомных реальных газов найдено, что величина cv остается почти постоянной в широком диапазоне изменения температуры, хотя это утверждение не распространяется на область очень низких температур. В случае многоатомных газов величину cv можно считать постоянной лишь в области температур, близких к комнатной. Это объясняется тем, что при низких температурах вращательное движение молекул требует малых затрат энергии, а при высоких температурах начинают играть существенную роль колебательные движения молекул. В силу такого положения вещей даже для совершенного газа обычно сохраняют выражение для внутренней энергии в форме
Е= f cvdT.
Для одноатомного совершенного газа кинетическая теория дает значение cv = z/2§l, в то время как для двухатомного газа в области температур, при которых существенны вращательные (но не колебательные) движения, получаем, что cv = 5/2§1. При этих значениях cv отношение у — cp/cv принимает значения 5/3 и 7/б соответственно. Для воздуха при умеренных температурах экспериментально определено 7=1,40, что соответствует теоретическому значению для двухатомного газа. Это значение, вероятно, остается правильным и при высоких температурах, если при этом энергия колебательного движения будет незначительной. Можно было бы добавить в заключение, что поведение воздуха при
!) Часто применяется также термин „идеальный" газ, но его предпочтительнее использовать для обозначения невязкого газа.
92
Гл. 4. Термодинамика и уравнение энергии
