Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
33. Сохранение энергии
95
следующим образом:
Если процесс является локально обратимым и в любой момент времени температура постоянна во всей системе, то,. как легко видеть,
-г лъ __ у dQ« dT^ dT dT
а
Таким образом, теплоемкость многофазной системы не может превосходить суммы теплоемкостей отдельных фаз этой системы.
§ 2. Уравнение энергии
33. Сохранение энергии. Как уже отмечалось в начале этой главы, к уравнениям движения жидкости нужно присоединить уравнение полной энергии г). Мы определяем полную энергию объема 23 как сумму кинетической энергии X и внутренней энергии ® этого объема, где
? = pq2dv, (§ = j pEdv,
а величина E представляет собой внутреннюю энергию, отнесенную к единице объема. Термодинамическая интерпретация Е существенно различна для сжимаемой и для несжимаемой жидкости: эти случаи соответственно будут рассматриваться отдельно. В случае сжимаемой жидкости мы полагаем, по определению, что величина Е есть термодинамическая переменная состояния, связанная с абсолютной температурой Т, удельной энтропией S и давлением р следующим соотношением'.
TdS = dE + pdx, х= 1/р, (33.1)
!) В последующем изложении мы рассматриваем только однородные и химически инертные жидкости. Вопросы, связанные с диффузией, химическими реакциями и прочими тонкими физико-химическими процессами, выходят за рамки данной статьи. В связи с этим мы рекомендуем читателю обратиться к замечательной работе Трусделла [Т г u е s d е 11 С., Sulle basi della termomeccanica, Rend. Accad. naz. Lincei (8), 22, 33—38, 158—166^(1957)], в которой впервые развита рациональная и систематическая теория, освещающая эти сложные вопросы.
96 Гл. 4. Термодинамика и уравнение энергии
где т обозначает удельный объем (см п. 30). Следует отметить, что сформулированный постулат определяет давление жидкости как термодинамическую переменную, так что в общем случае /? = /(р, S).
Для несжимаемой жидкости мы предположим, что вместо соотношения (33.1) выполняется более простое соотношение
TdS~dE, р == const. (33.2)
Из уравнения (33.2) вытекает, что E — E(S) и Т — dE/dS\ следовательно, давление никак не связано с термодинамическими свойствами несжимаемой жидкости и действительно представляет собой независимую величину.
Сформулированные выше аксиомы ни в коей мере не являются тривиальными или очевидными, если принять во внимание, что их предполагается применять к любому возможному движению жидкости. В подтверждение этих аксиом мы прежде всего отметим естественность и относительную простоту соотношения (33.1). Заметим далее, что для достаточно простых молекулярных моделей кинетическая теория приводит точно к такому же результату. Наконец, подтверждением правильности принятых гипотез служит тот факт, что все известные экспериментальные данные находятся в хорошем соответствии с теоретическими результатами, вытекающими из этих гипотез. Последний довод, видимо, не оставляет места сомнениям. Напомним в связи с этим замечание Джилбарга о том, что „уравнения часто остаются справедливыми при предположениях, менее ограничительных, чем предположения, принятые при их первоначальном выводе. Такого рода удача является в действительности одной из характерных черт теории в хорошем значении этого слова" !).
В связи с вышеизложенным представляется естественным принять в качестве аксиомы следующий закон сохранения общей энергии:
~ (X ®) == J pf • v dv (j) t • v da — (j) q • n da. (33.3)
% @ ©
l) Gilbarg D., Paolucci D., J. Rational Mech. Anal., 2, 618 (1953).
34. Термодинамика деформации
97
Согласно этому уравнению, скорость изменения полной энергии объема, движущегося с жидкостью, равна сумме мощности сил, приложенных к объему, и количества теплоты, полученной объемом (отнесенного к единице времени). Вектор потока тепла q имеет размерность энергии на единицу площади, отнесенную к единице времени, следовательно, размерность q равна MT~Z. Связь этого вектора с другими механическими и термодинамическими переменными будет определяться впоследствии дополнительными предположениями относительно свойств рассматриваемой среды. При помощи обычных рассуждений, основанных на формуле (9.1), мы получим из уравнения (33.3) так называемое уравнение полной энергии1), а именно уравнение
Как заметил Трусделл2), это уравнение принадлежит К. Нейману.
Уравнение (33.3) соответствует первому закону термодинамики. По аналогии со вторым законом мы будем предполагать, что
Заметим в заключение, что сформулированные в этом пункте дополнительные предположения завершают систему постулатов, лежащую в основе механики сплошных сред. Дальнейшее развитие теории связано с частными предположениями относительно вида тензора напряжений, вектора потока тепла и уравнения состояния, связывающего термодинамические переменные.
34. Термодинамика деформации. Мы начнем с замечания, касающегося понятия давления. Первоначальное определение давления было введено в п. б, и, согласно этому определению, давление является динамической переменной, описывающей свойства движения идеальной жидкости. Затем
*) Иногда в правую часть уравнения (33.3) добавляют член /?, учитывающий различные другие источники энергии в жидкости, например химические реакции, радиацию и т. п.
