Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2) Trues dell С., J. Rational Mech. Anal., 1, 160 (1952).
P? = T:t)-div4'
(33.4)
(33.5)
7 Зак. 1160
98
Г л. 4. Термодинамика и уравнение энергии
в начале этой главы было введено понятие давления как термодинамической переменной. Характерной чертой динамики сжимаемой жидкости, или, короче, газовой динамики, является предположение, что термодинамическое давление равно динамическому давлению. Таким образом, в случае идеальной жидкости имеет место следующая формула для напряжений: Т = —р\, справедливая как для сжимаемых, так и несжимаемых жидкостей. В первом случае р представляет собой термодинамическую переменную, а во втором рассматривается как не зависящая от термодинамического состояния жидкости динамическая переменная.
В общем случае, когда пренебрегать касательными напряжениями нельзя, мы представим Т в виде
Т = —jpI + V; (34.1)
ату формулу следует рассматривать как определение тензора V. Для сжимаемой жидкости р в соотношении (34.1) обозначает термодинамическое давление, для несжимаемой жидкости р играет несущественную роль, и выбор значения этой неизвестной в зависимости от значения Т будет сделан далее так, чтобы уравнения движения имели возможно более простой вид (см. п. 59а). Во избежание ненужных оговорок, мы в дальнейшем будем рассматривать идеальную жидкость как частный случай, соответствующий VsOb формуле (34.1).
Подставив представление (34,1) тензора напряжений в уравнение (33.4), получим, что
р -f- р div v = Ф — div q, (34.2)
где <D = V:D. Воспользовавшись теперь уравнением неразрывности и соотношением (33.1) в случае сжимаемой жидкости или (33.2) в случае несжимаемой жидкости, мы приходим к следующему уравнению:
рГ-^-=Ф —divq, (34.3)
выражающему скорость изменения энтропии индивидуальной частицы жидкости через Ф и divq. Заметим, что в силу равенства dQ=T dS, где dQ обозначает отнесенное к единице массы жидкости количество теплоты, поглощенное жидкостью, из уравнения (34.3) следует также, что скорость поглощения теплоты, отнесенная к единичному объему, равна
34. Термодинамика деформации
99
Ф — divq. Так как второй член представляет собой теплоту, полученную от соседних элементов жидкости, мы приходим, таким образом, к выводу, что величина Ф определяет отнесенное к единице времени и объема количество теплоты, возникшее в результате деформации элементов жидкости. Выделение этой теплоты влечет за собой, конечно, расходование механической энергии, в силу чего Ф носит название функции диссипации.
Разделив обе части уравнения (34.3) на Г и проинтегрировав полученное соотношение по объему, движущемуся с жидкостью, мы найдем, что
33 3S ©
Это уравнение показывает, что предположение (33.5) налагает на Ф, q и Т следующее ограничение:
Ф — q • grad Т/Т ^ 0.
В частности, это неравенство выполняется, если
ф>0> q-grad7<0. (34.4)
Условий (34.4) являются математическим эквивалентом двух известных экспериментально установленных фактов: во-первых, теплота всегда передается от тел с большей температурой к телам с меньшей температурой, во-вторых, в процессе деформации механическая энергия может перейти в тепловую, но не наоборот. Легко видеть, что неравенство (33.5) в свою очередь можно вывести из неравенств
(34.4), так что предположение (33.5) является прямым следствием простых физических наблюдений.
В термодинамике необратимых процессов одним из основных предположений является известный „закон линейности"!). Грубо говоря, этот закон утверждает, что термодинамическая система стремится к своему положению равновесия со скоростью, линейно зависящей от величины отклонения системы от положения равновесия. Несмотря на сомнительность этого предположения, представляется интересным сформули-
*) См. статьи Онзагера [О n s a g е г L„ Phys. Rev., 37,405 (1931); 38, 2265 (1931)]; несколько с иных позиций эти вопросы рассматривал Кертисс [33].
100 Гл. 4. Термодинамика и уравнение энергии
ровать два следствия „закона линейности". В нашем случае величина отклонения от положения равновесия измеряется величинами D и grad Т, следовательно, V и q должны быть линейными функциями D и grad 7. Из различного (с точки зрения тензорного анализа) характера этих величин вытекает, что
V = Линейная функция от D,
q — Линейная функция от grad 7\
Первый из этих результатов приводит к закону вязкости Коши — Пуассона, а второй — к известному закону Ньютона и Фурье. Однако эти рассуждения следует считать в значительной степени эвристическими, и их использование в выводе уравнений механики жидкости является некорректным.
ГЛАВА 5
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
§ 1. Общие принципы
36. Введение. В гл. 2 были получены уравнения движения идеальной жидкости, а именно уравнения
+ P div v = 0 (35.1)
И
p-^ = pf—grad p. (35.2)
К ним нужно добавить уравнение энергии (34.3), выведенное в гл. 4. Естественно предположить, что наряду с касательными напряжениями, которыми мы пренебрегаем при рас-
смотрении идеальных жидкостей, равен нулю также поток тепла q. (Согласно кинетической теории, вязкость и теплопроводность определяются сходными механизмами взаимодействия молекул и являются величинами одного порядка малости, поэтому, пренебрегая одной из них, мы должны пренебречь и другой.) При этом предположении правая часть уравнения (34.3) обращается в нуль и, следовательно,' оно сводится к простейшему виду
