Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно определению дивергенции 0 и завихренности со,
0 — div v, co = rotv.
Легко показать, что для данного (кусочно непрерывного) распределения дивергенции и завихренности в конеч-
26. Общие вопросы теории вихревых течений
73
ной области существует не более одного поля скоростей с заданной нормальной составляющей скорости на границе (см. [8], § 147). Единственность имеет место и для бесконечной области, если задан предел вектора скорости при х->оо. Несколько труднее доказать существование поля скоростей с заданным распределением дивергенции и завихренности. Мы рассмотрим ниже три случая.
1. Конечная область; to • п = 0 на границе. Предположим, что в конечной области Ь функции 0 и to один раз дифференцируемы; тогда искомое поле скоростей нетрудно построить при помощи потенциалов
V=if7rdv' Л = (26Л>
У и
где гг обозначает расстояние между точкой интегрирования х' и точкой х, в которой определяются величины ср и тс.
Рассмотрим поле
w = — grad ср —|— rot тс (26.2)
и заметим, что
div w — — V2cp = 0,
rot w = rot rot я = grad div tz — V2tc = to.
Мы воспользовались здесь соотношением div tz = 0, следующим из условия (О • п = 0 на границе области. Это соотношение выводится так:
div tz — J to • grad ~ dv =
= ^Idlv'{?)dv = -i;§!*FLda = 0’’
У 9
изменение знака во втором равенстве обусловлено заменой дифференцирования по х дифференцированием по х'. Так как поле w имеет заданные завихренность и дивергенцию, искомое поле скоростей v записывается в виде
v = w-f-grad ^ = grad (h — ср) —rot тс, (26.3)
где гармоническая функция h выбрана так, чтобы нормальная составляющая скорости v • п принимала на Ъ заданные значения. (Эти значения должны быть, конечно, согласованы С интегралом от дивергенции по области *>.)
74 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Поле скоростей v* = rot я непрерывно во всем пространстве, имёет завихренность w внутри Ь и является безвихревым вне этой области, причем на бесконечности v* = 0. Условие со • п = 0 на §> означает просто, что вихревые линии являются замкнутыми кривыми, лежащими в области Ь. Таким образом, поле v* представляет собой поле скоростей изолированной вихревой системы не-сжгімаемой жидкости.
При заданном поле скоростей v* возникает естественный вопрос о существовании и единственности соответствующего движения жидкости, удовлетворяющего уравнениям Эйлера. Трудная задача о существовании исследовалась Лихтенштейном (см. [9], гл. 12; [25] гл. 11, 12), Гёльдером }), Вольбинером2), Шеффером3) и Маруном 4).
Единственность течения с заданным начальным полем скоростей можно установить на основании методов, которые будут описаны в п. 72. Различные частные случаи, в которых соответствующее1 движение находится в конечном виде, рассматриваются в монографиях Ламба, Вилла, Лихтенштейна и Милн-Томсона.
2. Бесконечная область. Если предположить, что 0 и !о равны нулю вне некоторой ограниченной области, a v обращается на бесконечности в нуль, то соответствующей поле скоростей представляется в виде
v = — grad ср -f- rot те,
где ср и те— потенциалы (26.1), определенные во всем пространстве. Можно доказать справедливость этого представления в предположении, что 0 и (О при г—> оо являются вел.кчинами порядка г-3. Наконец, если 0 и о) при г—> оо убьівают как г~2, то интегралы (26.1) для ср и те расходятся, но остается справедливым представление поля скоростей через производные этих потенциалов:
v = — 4^-/ ©grad — J юXgrad (p)dv.
3. Конечная область; общий случай. При попытке представить в этом случае поле скоростей в виде (26.2) мы сталкиваемся с той трудностью, что величина div те теперь не обязательно равна нулю. Но если на поверхности $ известны значения скорости v, то можно показать, что
v = — grad ср* -j- rot те*,
») Holder Е., Math. Z., 37, 727 (1933).
2) W о 1 Ъ і n е r W.f Math. ZM 37, 698 (1933).
3) Schaeffer A. C., Trans. Amer. Math. Soc42, 497 (1937).
4) Maruhn K., Math. Z., 45, 155 (1939).
26. Общие вопросы теории вихревых течений
75
где
(см. [48], стр. 190). Заметим, что интегралы по поверхности определяют в области Ь гармонические функции. Если на границе § заданы только значения v • п, то интеграл по поверхности в формуле (26.5) вычислить нельзя и следует применить другой метод.
Расширим область определения to до всего пространства. Рассмотрим с этой целью в области, внешней по отношению к гармоническую (включая х = оо) функцию ср', удовлетворяющую на § условию д^/дп — ы • п, и положим to = = grad ср' в точках вне §. Дивергенция определенного таким образом поля (о равна нулю, и to имеет на бесконечности порядок г~3. Расширив теперь область интегрирования в формулах (26.1) до всего пространства, мы получим
В связи с полученными выше представлениями поля скоростей отметим некоторые интересные интегральные соотношения. Ламб приводит две формулы для определения кинетической энергии системы вихрей в несжимаемой жидкости. Предположим сначала, что жидкость покоится на бесконечности и что завихренность ы равна нулю вне некоторой ограниченной области. Тогда
