Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
70 Г л, 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
зательств замечательных теорем Гельмгольца, установленных незадолго до этого !).
По определению, циркуляция Г представляет собой интеграл от вектора скорости по замкнутому контуру, т. е.
v • dx = (j) vt dx1 о
о; є
Предположим теперь, что контур 6 = (5 (/) движется вместе с жидкостью, и найдем скорость изменения циркуляции по этому контуру. Зададим с этой целью движение кривой б уравнением
х = ср (5, t), 0 vS* 1,
где 5 фиксирует определенную частицу жидкости на a t означает время. Легко видеть, что
І
^-$v.dx = J-^(v§)ds = ^ a-dx. (25.1)
($ 0 • (5
Это соотношение является чисто кинематическим и выполняется для любого движения. Заметим, что для баротропного движения поле ускорений а является потенциальным в силу формулы (16.5). В этом случае j а • dx = 0 и,
(5
следовательно,
•jf(j>v-dx = 0. (25.2)
©
Мы приходим, таким образом, к следующему результату, известному под названием теоремы Кельвина: в случае баротропного течения идеальной жидкости в консервативном поле внешних сил циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени. Справедливо и обратное утверждение: если равенство (25,2) имеет место для любого замкнутого контура 6, то поле ускорений потенциально. Другими словами, движение несжимаемой жидкости является динамически возможным в том и только в том слу-
‘) Thomson W. (Kelvin), Trans. Roy. Soc. Edinb., 25, 217 (1869), Papers, 4, стр. 13—66; Helmholtz H., J. reine angew. Math., 55, 25 (1858).
25. Теорема Кельвина о циркуляции. Теоремы Гельмгольца 71
чае, когда равенство (25.2) выполняется для любого замкнутого контура, движущегося с жидкостью (для сжимаемой жидкости это утверждение в общем случае неверно).
С помощью теоремы Кельвина нетрудно теперь получить три теоремы Гельмгольца, которые так ярко характеризуют геометрические свойства движений, сохраняющих циркуляцию. Первая из этих теорем является чисто кинематической, две остальные легко выводятся из теоремы Кельвина и поэтому справедливы для любого движения, сохраняющего циркуляцию, независимо от природы среды.
Вихревая трубка определяется обычно как поверхность, образованная вихревыми линиями, пересекающими заданную замкнутую кривую. Это определение, к сожалению, охватывает и такие конфигурации, которые вряд ли можно назвать „трубками". В дальнейшем мы ограничимся рассуждениями, справедливыми для тех вихревых трубок, у которых „поперечные сечения" представляют собой замкнутые кривые без точек самопересечения; одну из этих кривых мы выберем в качестве определяющей.
Пусть и &2 — два произвольных замкнутых контура на поверхности трубки с одинаковым направлением обхода (уточним, что каждая кривая должна быть эквивалентна определяющей в смысле непрерывного преобразования, оставляющего кривую на поверхности трубки). Первая теорема Гельмгольца утверждает, что циркуляция по совпадает с циркуляцией по й2. Доказательство этой теоремы читатель может найти почти в любом курсе гидродинамики; мы рекомендуем обратиться к книге Ламба [8], § 145.
Прежде чем перейти к другим теоремам Гельмгольца, нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, на основе сформулированной выше теоремы мы можем ввести понятие интенсивности вихревой трубки как циркуляции по лежащему на поверхности трубки и охватывающему трубку контуру Таким образом,
Интенсивность = J v dx~ J* а) • п da\
® %
здесь через § обозначена некоторая (ориентированная) поверхность, натянутая на кривую 6; последнее равенство является следствием теоремы Стокса. Во-вторых, как видно из приведенного Ламбом доказательства, первая теорема
72 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Гельмгольца остается справедливой даже в том случае, когда поле завихренности кусочно непрерывно, если само поле скоростей остается непрерывным. В-третьих, мы хотим обратить внимание читателя на тот факт, что часто из первой теоремы Гельмгольца делают вывод, что вихревые линии представляют собой либо замкнутые кривые, либо заканчиваются на границе области течения жидкости. Келлог [45, стр. 41] указал на ошибочность этого заключения; он заметил, однако, что аналогичное утверждение относительно вихревых трубок справедливо.
Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что вихревая линия во все время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (это эквивалентно утверждению, что вихревые трубки перемещаются вместе с жидкостью). Эта теорема уже встречалась нам ранее (п. 17); ее можно вывести также из теоремы Кельвина о циркуляции (см. [8], § 146). Третья теорема Гельмгольца — интенсивность вихревой трубки остается постоянной во все время движения жидкости—является очевидным следствием теоремы Кельвина. Заметим в заключение, что эти две теоремы также остаются справедливыми, если предполагать только кусочную непрерывность поля завихренности.
Теоремы о завихренности для течений, в которых циркуляция меняется со временем, будут установлены в п. 40 и в п. 69.
26. Общие вопросы теории вихревых течений. Общая теория вихревых течений достаточно полно изложена в монографиях Ламба [8] и Вилла [18]. Мы хотим здесь установить более естественным и ясным способом лишь некоторые основные результаты, изложение которых в цитированных книгах, как нам кажется, не совсем отвечает существу дела. В частности, мы рассмотрим задачу определения поля вектора скорости по его завихренности и дивергенции и некоторые связанные с этой задачей результаты, касающиеся распределения завихренности.
