Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
_±*L__V0) (ід 4)
дх2 ^ ду2 у ду ~ уш- (1УЛ;
В установившемся течении И и w связаны соотношениями
Я=Я(6), =
и поэтому любое решение уравнения Е2\> — y2f (ty) можно рассматривать как пример установившегося осесимметричного течения.
58 Г л. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Интересный пример дает сферический вихрь Хилла ф = !/2 Ау2(а2— ^2)> гле г2 Xі —|- у2. Для этого течения (о = 5Ау и Н= — 5Лф + const (см. [8], стр. 309).
20. Уравнения движения в естественных координатах. Рассмотрим плоское установившееся движение. Пусть s и п обозначают длину дуги линий тока и их ортогональных траекторий. Поставим своей задачей найти вид уравнений движения, записанных в производных по переменным sun. Удобно начать наши рассмотрения с формулы для дивергенции вектора скорости; на этом примере станет ясным также общий метод, используемый в этом пункте. В декартовой системе координат (х', у') с началом в неподвижной относительно жидкости точке Р и осями, направленными по проходящим через Р линии тока и ортогональной траектории,
здесь через 0- обозначен угол наклона вектора скорости к оси х исходной системы координат. Произведя указанное, дифференцирование, мы получим, что в точке Р
Искомая формула, таким образом,* получена. Введя в рассмотрение кривизну х и К линий тока и их ортогональных траекторий соответственно
мы можем, воспользовавшись равенством (20.1), записать уравнение неразрывности в виде
dv' д
ду' ~~ дх'
[q cos ф — »р)] -+ [q sin (& — &р)];
(20.1)
¦^<w)+*w = o.
(20.2)
Точно так же, применив формулу
А — А
dt ^ ds ’
(20.3)
20. Уравнения движения в естественных координатах 59
мы получим в проекциях на линию тока и на ее ортогональную траекторию уравнения
*Р_ оа2 х^_д?_
ds ' ^ дп
dq
Р?!Г = -
(20.4)
Уравнения (20.2) и (20.4) образуют систему уравнений установившегося плоского течениям естественных координатах. Рассуждения, аналогичные использованным при выводе формулы (20.1), позволяют найти для определения завихренности формулу
dq . <й==--Ж + х‘7-
(20.5)
Естественные координаты в трехмерном течении.
Легко выписать соответствующие уравнения для осесимметричного течения. В частности, мы вместо уравнения (20.2) получим
(УР?) +/Ow = 0, (20.6)
а уравнения (20.4) и (20.5) остаются неизменными.
Полученные выше уравнения без труда обобщаются на трехмерный случай, если воспользоваться формулами Френе
<^s db /ОА
(20-7)
где через s, п и b обозначены соответственно касательная, главная нормаль и бинормаль к линии тока. Мы имеем
div v = div (qs) = + q div s.
Следовательно, если обозначить 3)i = divs, то уравнение неразрывности можно записать в виде
^ (р<7) + 23їр<7 == 0.
(20.8)
Аналогично подставив в уравнения движения выражение v = <7S и воспользовавшись формулой (20.3), мы получим
(20.9)
60 Г л. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Второе слагаемое левой части можно преобразовать по одной из формул Френе, после чего, записав уравнение (20.9) в проекциях на направления s, п и Ь, мы получим
*?--&¦ "**=-¦?• ¦>—¦?• о»-!»)
Уравнения (20.8) и (20.10) являются искомыми уравнениями установившегося движения в естественных координатах.
Выражение для вектора завихренности проще всего получить следующим способом. Заметим, что
о) = rot v =
SP nP Ьр
д д д
ds дп дЬ
V’SP v-Пр v Ь р
(20.11)
где Р — неподвижная относительно потока точка, a (s, п, Ь) — декартовы координаты с началом отсчета в точке Р (см. рис. 3). Подставив в соотношение (20.11) выражение v = qs и выполнив указанные дифференцирования, мы получим в точке Р
В случае безвихревого течения или в более общем случае, когда поле скоростей нормально к однопараметрическому семейству поверхностей S, множитель ЭД1 в уравнении (20.8) можно интерпретировать как сумму главных кривизн (среднюю кривизну) эквипотенциальных поверхностей или в общем случае поверхностей S.
Остальная часть этой главы разбита на два параграфа, в которых излагаются результаты исследований безвихревого и вихревого движений соответственно. Сначала мы рассмотрим более простой и более изученный случай безвихревого движения.
§ 2. Безвихревое движение
21. Условия потенциальности движения. Основываясь на уравнениях Бернулли (18.3) и (18.4), легко показать, что уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если предположить, что движение безвихревое. Обычно для обоснования этого предположения пользуются теоремой Коши — Лагранжа (п. 17), которая утверждает, что баротропное движение идеальной жидкости является безвихревым, если каждая частица жидкости первоначально нахо-
21. Условия потенциальности движения
61
диласъ в состоянии покоя. Это утверждение не означает, что каждое баротропное движение жидкости является безвихревым, так как, оставляя в стороне философский вопрос о том, будет ли каждая частица покоиться в некоторый момент времени, завихренность может возникнуть в конкретной задаче, например под воздействием внешнего механизма вязкости или ударных волн. Тем не менее сформз^ли-рованная выше теоремп свидетельствует о том, что исследование безвихревого движения является весьма важным разделом теории идеальной жидкости.
