Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (29.9), являющееся обобщенным уравнением Вебера, также можно рассматривать как видоизменение уравнений движения в переменных Лагранжа.
Полученные уравнения (29.9) и (29.10) представляют значительный интерес с точки зрения вариационной задачи
8б Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Херивела — Линя, рассмотренной в п. 15. Говоря точнее, уравнение (29.10) и уравнение
v = — grad № -f- р grad 5 -f- grad X • v0, (29.11)
получающееся при умножении уравнения (29.9) на grad X, вместе с очевидным условием dvjdt = 0 совпадают (с точностью до обозначений) с уравнениями Эйлера вариационной задачи, определяемой уравнениями (15.5) и (15.6). Это доказывает, что каждое течение дает экстремум вариационной задачи Херивела — Линя (см. п. 15).
Нетрудно получить обобщение преобразования Клебша, однако вывод обобщенных уравнений Клебша и их формальное обоснование мы предоставляем читателю.
ГЛАВА 4
ТЕРМОДИНАМИКА И УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
§ 1. Термодинамика простой среды
Всегда, кроме наиболее простых случаев, рассмотренных в предыдущей главе, число неизвестных в уравнениях, выведенных в гл. 2, превосходит число уравнений и, следовательно, одних этих уравнений недостаточно для полного описания движения жидкости. Создавшееся затруднение разрешается введением уравнения полной энергии, основанного на классических принципах термодинамики, и использованием затем заданных заранее уравнений состояния среды.
В этой главе мы выведем уравнение полной энергии, начав с обзора (п. 30—32) тех результатов классической термодинамики, которые нам понадобятся в дальнейшем. Мы рассмотрим, в частности, основные законы, описывающие изменения термодинамической системы, фазы которой имеют постоянную массу и фиксированное уравнение состояния. Прежде чем перейти к деталям, следует заметить, что мы не ставим перед собой задачу (это выходило бы к тому же за рамки данной статьи) физического обоснования логической структуры термодинамики. Укажем лишь, что такого рода обоснование мы находим в законах Клаузиуса и Кельвина, результатах кинетической теории и статистической механики
и, пожалуй в наибольшей мере, в успешном применении теории для объяснения экспериментальных фактов1).
*) Трудно указать читателю вполне строгое изложение вопросов обоснования термодинамики. Одним из наиболее удачных элементарных методов является метод Филлипса, изложенный, например, в книге [31], гл. 8; представляют также интерес и другие разделы этой книги (гл. 1—3, 6—7 и 19—24). Более полное исследование принадлежит Каратеодори [Math. Ann., 67, 355 (1909); Sitzgsber. Akad. Wiss. Berlin, Math.-Phys. KI-, 39 (1935); Handbuch der Phy-sik, т. 9, г л. 4, 1926]. Однако как элементарные методы, так и изящный метод Каратеодори неприменимы в случае необратимых процессов; по этому вопросу можно обратиться к работе Ли-
88
Гл. 4. Термодинамика и уравнение энергии
30. Однофазная система. Простейшей термодинамической системой является однородная среда. Свойства однородной среды лежат в основе всей гидродинамики сжимаемой жидкости, поэтому наше изложение естественно начать с математического описания этой однофазной системы. Введем с этой целью переменные состояния, наиболее важными из которых являются объем V, энтропия S, внутренняя энергия Е, давление р и абсолютная температура Т. Заданные значения этих переменных вполне определяют термодинамическое состояние однофазной системы.
Структура однофазной системы определяется функциональными соотношениями между переменными состояния. Следуя изящному методу Гиббса, выберем в качестве основного соотношения
E = E(S, V)
(функция E(S, V) предполагается заданной заранее) и примем следующие определения величин р и Т:
т_ дЕ_в Р~ dV ' dS’
предполагается, конечно, что dEjdS > 0 и dE/dV < 0. Различные соотношения между Е, S, Vt Т и /?, которые можно получить из выписанных выше формул, называются уравнениями состояния. Ясно, что зафиксировав любые две переменные состояния, мы тем самым определяем, вообще говоря, все остальные *). Полное дифференцирование соотношения E = E(S, V) приводит к следующей важной формуле:
TdS = dE-{-pdVt (30.1)
связывающей переменные состояния.
фа [Leaf В., /. Ch.em.Phys., 12, 89(1944)], в особенности к стр. 94. Заметим, что в последнее время все более популярной становится та точка зрения, что следует отказаться от попыток строгого объяснения аксиом термодинамики необратимых процессов; см. книги Де Грота (Де Грот С., Термодинамика необратимых процессов, Гостехиздат, 1956) и Денбига (Д е н б и г Г., Термодинамика стационарных необратимых процессов, ИЛ, 1954).
Стандартное изложение кинетической теории газов можно найти в книге Чепмена и Каулинга [34].
1) В качестве основных переменных мы будем обычно употреблять (S, V) или (р, V); последняя пара переменных применима, конечно, только в тех случаях, когда р и V однозначно определяют термодинамическое состояние системы.
ЗО. Однофазная система
89
В том частном случае, когда Е = Е (S), основное уравнение (ЗО. 1) заменяется уравнением ТdS = dE, причем давление уже не является более термодинамической переменной. Это вызывает необходимость специальных оговорок в последующих рассуждениях, однако для краткости мы все необходимые изменения предоставляем читателю и ниже всюду считаем, что (dEjdV)s < 0.
