Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В этой связи представляется интересным родственный результат, который во многих случаях гарантирует потенциальность течения. Обычно этот результат формулируется следующим образом: течение, возникшее из состояния
покоя или равномерного движения, является безвихревым. Сформулированное утверждение на первый взгляд не вызывает сомнений, однако в том случае, когда движение жидкости равномерно на бесконечности, оно нуждается в тщательной проверке. Пусть при X —> со величины V, р, р и to стремятся к некоторым пределам, причем limco = 0. В случае плоского и осесимметричного течения мы из теоремы 3 п. 17 действительно получаем, что (о = 0. Иначе обстоит дело в случае трехмерного течения *); здесь этот результат можно получить только в случае установившегося движения. Доказательство проводится следующим образом. Согласно теореме Бернулли (п. 18), на линиях тока выполняется равенство
H=^q2~\--j 2 = const,
причем в силу условий на бесконечности 2) постоянная имеет одно и то же значение для всех линий тока. Воспользовавшись теперь уравнением (18.1), мы получаем, что (о X v = 0, т. е. что найдется такая скалярная функция k==k(x), что
(о = kv. (21.1)
1) Хотя неизвестно ни одного противоречащего примера, нетрудно было бы показать, что потенциальность не является следствием одного только уравнения (17.3) или эквивалентной ему формулы (17.7); см. статью Лекорню [L е с о г п и, С. R, Acad. Sci.f Paris, 168, 923 (1919)]. Ссылку на эту работу и схему доказательства я обнаружил в книге Трусделла [27], § 77.
2) Предполагается, что потенциал внешних сил ? стремится к определенному пределу при х -> оо.
62 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Из формулы (21.1) в свою очередь следует, что
(k \ k
— pvj = pv • grad — .
Последнее соотношение представляет собой не что иное, как условие постоянства &/р на линии тока. Таким образом, на линиях тока
Если lim v Ф О, то для всех линий тока постоянная равна нулю и, следовательно, (О = 0. В противном случае, если limv = 0 (жидкость в бесконечности находится в состоянии покоя), мы будем вынуждены удовлетвориться более скромным результатом (21.2).
Подводя итог рассуждениям, проведенным в предыдущих пунктах, мы можем сформулировать следующее утверждение: баропгропное течение идеальной жидкости в консервативном поле внешних сил является безвихревым, если каждая частица первоначально находилась в области покоя или равномерного движения. Кроме того, плоское течение, осесимметричное течение, а также установившееся трехмерное течение при limv^O является безвихревым, если течение на бесконечности является равномерным.
22. Свойства безвихревого движения. Поведение потенциала на бесконечности. Безвихревое движение характеризуется существованием потенциала скорости ср = ср(х, t), такого, что v = grad ср. Если рассматриваемая жидкость несжимаема, то divv = 0 и, следовательно, потенциал ср удовлетворяет уравнению Лапласа
Задача о безвихревом движении несжимаемой жидкости сводится таким образом просто к решению уравнения (22.1) при соответствующих граничных условиях. Мы рассмотрим некоторые основные аспекты этой задачи в этом и следующем пунктах; вопросы, касающиеся движения сжимаемой жидкости, будут изучаться в гл. 5.
— = const, pv
(21.2)
(22.1)
22. Свойства безвихревого движения
63
Рассмотрим сначала тот важный случай, когда жидкость занимает все пространство вне одного или нескольких движущихся твердых тел конечных размеров. Предположим, что на бесконечности жидкость движется равномерно со скоростью U, т. е. что limv = U. Тогда потенциал и
скорость при г->со имеют следующие асимптотические представления:
Здесь х~(х, у, z) и г2 = х2 + У2 + z2.
Существуют различные доказательства этого важного результата; самым простым, вероятно, является приведенное ниже. Начнем с замечания, что достаточно рассмотреть случай U = 0; общий случай сводится к этому наложением поля скоростей равномерного движения. Если U = 0, то легко доказать (см. [10], § 3.75), что
где С — соответствующим образом выбранная постоянная, Ъ — замкнутая поверхность, содержащая обтекаемые тела, х — точка вне Е, а г' — расстояние между х и точкой интегрирования. (Заметим, что при неодносвязной области течения потенциал скорости может быть многозначной функцией, однако и в этом случае при достаточно большом г любую ветвь можно рассматривать как однозначную функцию.) Интеграл в правой части равенства (22.3) имеет, очевидно, следующее асимптотическое представление:
(22.2)
(22.4)
где А — поток жидкости через ?, т. е.
S
При постановке задачи неявно предполагалось, что источники отсутствуют, следовательно, Д = 0 и представление (22.2)
64 Г л. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
доказано. Аналогичным образом, дифференцируя соотношение (22.3) по х, мы получаем, что при Д~0
Этим завершается доказательство справедливости представлений (22.2).
В случае необходимости можно получить полное разложение потенциала и скорости в окрестности бесконечно удаленной точки в виде ряда по сферическим функциям (см. [45], стр. 143).
