Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Этот на первый взгляд неожиданный результат известен под названием парадокса Даламбера *). Несоответствие с опытными данными вызвано, конечно, тем, что рассматривается слишком упрощенная модель обтекания тела [8, § 370, 371].
В случае плоского течения из-за наличия циркуляции возникают некоторые дополнительные трудности. Предположим, что система координат выбрана так, что направление скорости набегающего потока совпадает с положительным направлением оси х, т. е. что U= (U, 0). Тогда, полагая v = (u, v) и пользуясь формулой (22.8) и уравнением Бернулли, легко показать, что
р = p0-^-pU (и — ?/) + О (г"2).
Из этого соотношения вытекает следующая формула для проекции силы на направление скорости потока:
X = — J (р cos б + рuv • п) ds =
і
= р J W (и — /7) cos 9 — (и — U) v • п — Uv • п] ds-{- О (Z?”"1),
где V • п = и cos б + ^ sin 0. Сумма первых двух членов под-интегральной функции имеет в силу формулы (22.8) порядок 0(/?~2). Интеграл от третьего члена в естественном предположении отсутствия источников равен нулю. Таким образом, даже при наличии циркуляции сопротивление равно нулю. Аналогичные вычисления приводят, однако, к ненулевой величине подъемной силы
Y = — pTU. (23.2)
Интересно, что подъемная сила зависит только от величины циркуляции, а форма и размеры тела не играют никакой
*) сГ А 1 е m b е г t J. L., Opuscules Mathematiques, 5 (1768). В этой работе отсутствие силы сопротивления доказано только для симметричных тел на основе очевидной симметрии распределения давления. Аналогичные рассуждения встречались и в более ранних работах Даламбера, а также в работе Эйлера по баллистике (1745 г.); см. предисловие редактора к 12 тому Собрания сочинений Эйлера (Opera Omnia (2), 12).
68 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
роли. Полученная независимо друг от друга Жуковским1) и Кутта 2) формула (23.2) лежит в основе теории подъемной силы крыла.
Мы рекомендуем читателю ознакомиться с интересными формулами Кирхгофа для силы и момента, действующих на тело, движущееся в жидкости произвольным образом (см., например [8], гл. 6). Из-за недостатка места эти вопросы здесь не рассматриваются.
24. Теорема Кельвина о минимуме энергии. Рассмотрим движения жидкости в ограниченной односвязной области Ь, удовлетворяющие на границе $ условию
где h — некоторая заданная на $ функция. Другими словами, проекция количества движения на нормаль имеет в точках $ для всех течений рассматриваемого класса одно и то же значение. Следующий признак является характерным для безвихревого движения в классе всех движений несжимаемой жидкости, удовлетворяющих условию (24.1).
Принцип Кельвина. Среди всех течений несжимаемой жидкости в области *>, удовлетворяющих условию (24.1), безвихревое течение имеет минимальную кинетическую энергию.
Классическое доказательство этого результата, принадлежащее Кельвину, можно найти в книге? Ламба ([8], § 45). Справедливо и обратное утверждение; это утверждение является по существу переформулировкой известного принципа Дирихле для гармонических функций.
Принцип Дирихле3). В классе всех безвихревых течений v — gradcp в области Ь наибольшее значение функционалу
О Жуковский Н. Е., Бюлл. Инст. Аэро. Кучино (СПб) (1906). '
2) К u 11 a W. М., Sitzgsber. bayr. Acad. Wiss. (Munch.), 40 (1910).
3) Аналогичная теорема была получена Прателли [Р г a t е 11 і A. R., Rend. 1st. Lombardo (3), 17, 484 (1953)]. В работе Прателли класс рассматриваемых течений несколько шире: в него входят все течения, имеющие заданное распределение завихренности.
pv • п = h,
(24.1)
(24.2)
§ 25. Теорема Кельвина о циркуляции. Теоремы Гельмгольца 69
дает течение, удовлетворяющее условиям
divv = 0, pv • n = h на §. (24.3)
Множитель р, фигурирующий в формулах (24.2) и (24.3), представляет собой некоторую заранее заданную постоянную, которую естественно принять за плотность течения, дающего максимум функционалу (24.2). Движения рассматриваемого класса не обязаны удовлетворять условию divv = 0, и их плотности, следовательно, нельзя отождествлять с р. Для доказательства принципа Дирихле обозначим через ср потенциал безвихревого движения, удовлетворяющего условиям (24.3). Ясно, что ср является гармонической функцией и определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной. Простые преобразования приводят к следующему равенству:
3(?) = 3(<Р*) + ^Р f [grad (ср — f)fdv,
V)
где через ср* обозначен потенциал любого другого течения. Таким образом, З.Ор) 3 (?*)> причем равенство возможно тогда и только тогда, когда ср* = ср -(- const, что и требовалось доказать.
Очевидно, что решения двух вариационных задач, сформулированных выше, совпадают. Более того, минимальное значение энергии в принципе Кельвина в точности равно максимуму 3 в принципе Дирихле. Это следует из того, что для течения с экстремальной энергией
у р J q2dv = %
V)
И
(j) ср/г da — р j ср da — 2%.
б §
§ 3. Вихревое движение
25. Теорема Кельвина о циркуляции. Теоремы Гельмгольца. Понятие циркуляции было введено Кельвином в 1869 г. для более наглядного представления геометрических свойств движения жидкости и для упрощения дока-
