Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 34

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 82 >> Следующая

Р — Р (R, S'). (36.8)
Возвращаясь теперь к уравнению (36.5), мы видим, что
& (o' S')___ ^ №?') — f (рО /36 q\
g( Р . * ) P(R, S') P(l, S') ’ (ob.S)
так как R изменяется независимо от S'. Второе равенство (36.9) можно записать в виде
Я (Л, 5') _f(R?') ____f(R) .
P(l.S') /(р') /(1) ’
последний переход в этой формуле законен в силу независимости левой части от р'. Таким образом,
/ (Rp') = const •/(/?)/(р0, (36.10)
и, следовательно, / (р) = const • pm 2). Мы видим отсюда, что /(р, S) = a(S)pm и, таким образом, доказательство закончено.
1) Аналогичный результат для изэнтропических течений приведен в работе Биркгофа [17], стр. 109 (1 изд.).
2) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно продифференцировать соотношение (36.10) по R и подставить R = 1.
108
Гл. 5. Идеальный газ
В более сложных случаях, когда нельзя пренебрегать влиянием вязкости, теплопроводности, поля внешних сил, граничных условий и т. д., приведенный выше анализ не исчерпывает перечень необходимых свойств динамически подобного течения. Влияние некоторых из этих факторов будет рассмотрено далее (см. п. 66).
Теория размерностей и динамическое подобие. Некоторые из приведенных выше результатов можно получить простым анализом размерностей. Например, тот факт,* что в соответствующих точках динамически подобных течений величина qjc принимает равные значения, становится очевидным, если заметить, что все члены, входящие в уравнения движения, имеют одинаковую размерность. Имеет место и более общий результат: если предположить, что существуют два динамически подобных течения и что все параметры этих течений единственным образом определяются состоянием течения в некоторой точке Р, то любые безразмерные комбинации параметров течений в соответствующих точках совпадают, так как они являются функциями только от значения числа Маха в точке Р. Доказательство проводится обычными методами теории размерностей. Существенным препятствием применению результатов теории размерностей является, однако, необходимость априорного предположения динамического подобия рассматриваемых течений !). С этой точки зрения развитая выше теория динамического подобия представляется более ценной, так как она позволяет получить необходимые и достаточные условия существования динамически подобных течений 2).
Нельзя отрицать ценности метода анализа размерностей в тех многочисленных случаях, когда динамическое подобие течений не вызывает сомнений. Этот метод позволяет также
1) К сожалению, в приложениях теории размерностей справедливость основного предположения почти никогда не проверяется. Критические замечания по этому поводу и соответствующие многочисленные примеры можно найти в гл. III работы [17]. В этой работе подчеркивается, в частности, что справедливость известной Пи-теоремы, являющейся основным результатом теории размерностей, сомнений не вызывает; трудность зд^сь связана с предположениями, на которых основан анализ размерностей.
2) Интересное замечание по этому поведу приведено в работе Гольдштейна [36], стр. 113.
37. Уравнение Бернулли
109
получить некоторые результаты в случаях, к которым нельзя применить какие-либо другие методы исследования; но рассуждения теории размерностей при этом было бы желательно подтвердить, насколько это возможно, исследованием полных уравнений движения.
§ 2. Энергия, энтропия и завихренность
В оставшейся части этой главы поле внешних сил предполагается равным нулю. До тех пор пока мы имеем дело с газообразной средой, это предположение не является существенным ограничением общности.
37. Уравнение Бернулли. Течение газа называется изэн-тропическим, если энтропия постоянна во всей области течения. Уравнение (35.3) в этом случае обращается в тождество, а уравнение состояния (35.4) принимает простую форму
p = f( р). (37.1)
Следовательно, мы имеем дело со случаем баротропного те^ чения, уже изучавшимся нами в гл. 111. В частности, перефразируя результат, установленный в этой главе, мы видим, что для изэнтропического установившегося безвихревого течения идеального газа при отсутствии внешних сил справедлива следующая теорема Бернулли:
iq2 + / Y=const; (37-2)
в качестве нижнего предела интегрирования в этой формуле обычно выбирают значение р = 0. Как будет выяснено ниже, интеграл в формуле (37.2) дает нам величину удельной энтальпии. Уравнение (37.2) можно записать также в диффе-
ренциальной форме:
pqdq-\-dp = 0, (37.3)
или, воспользовавшись формулой (35.6) для скорости звука, в виде
pq dq с2 dp = 0. (37.4)
В случае совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями интеграл I dpjp вычисляется в явном виде и
110
Гл. 5. Идеальный газ
уравнение (37.2) принимает вид
-у = const. (37.5)
Мы не будем касаться хорошо известных алгебраических следствий этого соотношения и рассмотрим непосредственно общее уравнение (37.2). При этом удобно ввести следующее термодинамическое предположение *):
(Ш>0- (3т
Геометрически неравенства (37.6) и (30.7) означают, что в плоскости р, V адиабаты представляют собой выпуклые кривые с отрицательным углом наклона касательной. Здесь мы будем использовать не неравенство (37.6), а его следствие:
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed