Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
4г = 0. (35.3)
Система уравнений (35.1) — (35.3) становится полной, если к ней присоединить термодинамическое уравнение состояния, связывающее величины р, р и S, т. е. уравнение
р = /(р. S). (35.4)
В частном случае совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями уравнение (35.4) принимает следующий
102
Гл. 5. Идеальный газ
вид:
р = es/cv рт, 7 == const > 1.
(35.5)
Однако в дальнейшем мы, как правило, будем пользоваться только общими свойствами уравнений состояния, сформулированными в п. 30. Из неравенства (30.7), например, вытекает условие (др/др)3 > 0, которое позволяет ввести термодинамическую переменную с:
Жидкость, удовлетворяющую уравнениям (35.1)—-(35.4), мы ниже будем называть идеальным газом. При изучении газовой динамики почти всегда пренебрегают воздействием поля внешних сил, и мы также будем придерживаться этого естественного предположения.
Пожалуй, наиболее характерным свойством системы уравнений (35.1) — (35.4) является конечная скорость распространения волн давления. Для пояснения этого факта воспользуемся следующими соображениями. Рассмотрим течение, полученное возмущением состояния покоя v = 0, р = /?0, р = р0, S — 50, и предположим, что амплитуда этого возмущения мала. Если при этом пренебречь квадратами малых величин, то уравнения (35.1) и (35.2) примут следующий вид:
Исключение v из этих уравнений приводит к соотношению V2p = d2p/dt2. С другой стороны, из уравнений (35.3) и
(35.4) следует, что d2pjdt2 = c2d2p/dt2. Таким образом, малые возмущения давления должны удовлетворять уравнению !)
В силу хорошо известных свойств решений этого уравнения малые возмущения давления распространяются со скоростью с0. Приведенные рассуждения, несмотря на свою нестрогость, показывают естественность введенного выше определения
1) Это уравнение было известно еще Эйлеру [Mem. Acad,. ScL Berlin (1759); Opera Omnia (3), 1, стр. 428—507].
(35.6)
|f + Podivv = 0, Po^- = —grad/7.
35. Введение
103
скорости звука с1). В более точной постановке вопрос
о распространении волн будет рассмотрен в п. 51 и 54.
Нужно заметить, что с не является постоянной, а представляет собой термодинамическую переменную, зависящую от состояния жидкости. Например, для совершенного газа2)
где gR — универсальная газовая постоянная, отнесенная к единице массы (в системе CGS величина eR равна 2,87 X Ю6 для воздуха и 83,1 X Ю6 грамм-моль для чистого газа). Точность формулы (35.7) можно оценить, вычислив значение с для воздуха при 0° по шкале Цельсия (273,16° по абсолютной шкале). Подставив в формулу (35.7) 7=1,40 и приведенное выше значение 31, мы получим с = 331,3 м/сек, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Это совпадение является одним из важных доводов в пользу применения теории идеальной жидкости для изучения движения газов.
Концепция конечной скорости звука приводит к хорошо известной картине дозвукового и сверхзвукового течения.
]) Первая теоретическая формула для скорости звука была найдена Ньютоном (Математические начала натуральной философий,
книга II, отдел VIII, Предложения 48, 49.) Другой подход к вопросу был предложен Эйлером; им было усовершенствовано доказательство Ньютона и выведено волновое уравнение. Так как понятие адиабатического изменения тогда не было известно, Эйлер так же, как и Ньютон, сформулировал окончательный результат в виде с2 = р/р. Согласование этой теории с экспериментом было выполнено Лапласом, который отметил тот факт, что температура, так же, как и давление, увеличивается при мгновенном сжатии. Результаты Лапласа впервые были опубликованы, по-видимому, Био [В lot J.,
Bull. Soc. Phil. Paris, 3, 116 (1802)]. В этой заметке повышение температуры рассматривалось, однако, с точки зрения экспериментальных фактов. Некоторое время спустя Лаплас объяснил указанное повышение температуры, исходя из адиабатического характера процесса распространения звука и получил формулу с2 = 7/?/р, где у — отношение удельных теплоемкостей [Ann. С him. Phys., З, 238
(1816)]. Общая формула с2 = (др/др)5 была получена, конечно, позже.
2) Эта формула справедлива и в случае переменных удельных теплоемкостей, так как в силу соотношения (30.6)
(35.7)
дР\ ..(дР\ 1Р
104
Гл. 5. Идеальный газ
Хотя различия между этими течениями будут естественным образом получены в последующем исследовании, представляется полезным уже здесь выяснить некоторые особенности указанных течений при помощи интуитивных соображений. Рассмотрим случай установившегося дозвукового течения, например горизонтальный полет самолета с постоянной дозвуковой скоростью. При этом возмущение давления распространяется в направлении движения самолета со скоростью, равной разности скорости звука и скорости полета, а в обратном направлении — со скоростью, равной сумме скорости звука и скорости полета. Следовательно, возмущение достигает любой точки при условии, что полет продолжается бесконечно долго. Другая картина будет при полете со сверхзвуковой скоростью. Зона возмущения ограничена теперь конусом, простирающимся от передней точки самолета назад, причем образующие этого конуса составляют с его осью угол, равный arc sin (cjq) (в эту картину нужно внести некоторые изменения, если рассматриваются возмущения конечной амплитуды, т. е. ударные волны)1).
