Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
J (J - 1) cos2 0 (sin 0)/_2 - J (sin 0)7 + J cos2 0 (sin 0)/-2 -
- /2(sin 0)/_2 + (sin 0)' = 0,
так что
WJ = J{I+\)2f. (5)
Заметьте, что предполагаемое решение
ф = ехр (//ф) • (sin 0)у является частным случаем общего решения
уравнения (1): ф = С ехр (флер) РТ (cos 0), когда J = т. В этом можно
убедиться, воспользовавшись определением присоединенных полиномов
Лежандра Я",
ЗАДАЧА 77 АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ 375.
II
1. Йодистый водород, как и все полярные двухатомные молекулы, имеет
вращательный спектр дипольного излучения и поглощения. Правило отбора для
разрешенных переходов: А/ = = ±1. Используя (5), получаем для первых
четырех энергетических уровней
й2 зй2 ьй2
Г0 = 0, Г, = -5-, W2 = ^j-, Г з = -т-.
При
- =-----(6,62)2 • 1 0~68 = 25 2 # 10_22 дж
I 4 • 9,87 • 4,25 • 10
имеем
WQ = 0, Г, = 25- 10"22 Дж, 1У2 = 75 • 1СГ22 Дж,
W3 = 150 • 1СГ22 Дж.
Частота поглощения при переходе между каким-либо энергетическим уровнем и
ближайшим более высоким уровнем может быть записана в виде
h
y+1* +
откуда
, с 4я 2 с/ 1 0,75-10-3
v~ h /+1- / + 1 М'
А,01 = 0,75мм, А,12 = 0,37 мм, А,23 = 0,25 мм.
Эти линии расположены в микроволновой области спектра. Они широко
изучаются со времени их открытия в 1945'г.
2. а) Уравнение (2) описывает колебания гармонического осциллятора.
Находим
так что
2v+ 1 =4 = -|^-1 b hv0
tP0 = (" + 4-)/ivo.
Асимптотическое решение уравнения (2) для больших значений г (а
следовательно, и q) находится при пренебрежении, величиной alb по
сравнению с q2. Уравнение записывается в виде
d2f 2f л
-djr-qf = 0
и имеет решение
f - A ехр [- (4р )].
Существование нулевой энергии W0 = 4ih\ при v = 0 является. следствием
соотношения неопределенности (см. задачу 57),
376 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 77
б) Напишите выражение для дипольного перехода между двумя
энергетическими уровнями и воспользуйтесь заданными значениями для
волновых функций
+ оо оо
(Dq)oi = е 5 dq==e ?2 ехр ^ dq>
- оо -оо
Интегрирование проводится по частям:
оо оо
J q2 ехр (- q2) dq = [- q2 ехр (- + § J ехр (- q2) dq.
-оо - оо
Выражение в скобках равно нулю, а последний интеграл равен д/л. Таким
образом,
Тем самым при ненулевом дипольном моменте переход 0 -> 1 является
разрешенным.
оо
[Dq)02 = е jj <7 {2q2 - 1) ехр (- q2) dq =
- оо
оо оо
= 2е ^<73ехр(- q2) dq - е ^ехр(-^2)dq.
-оо -оо
Последний интеграл равен нулю; с учетом этого находим
ОО оо
jj 2q3 ехр (- q2) dq = [- q2 exp (- <72)]"те + 2 exp (- q2) dq.
-оо -oo
¦Согласно предыдущим вычислениям, эти интегралы равны нулю. Таким
образом, {Dq)02 равно нулю и переход 0-*2 является запрещенным.
3. Имеем
Г7
Wj+Wv = ^-J(J+ 1) + (0 + i-) Av0.
Откуда, если рассматривать только колебательный переход = 0->?! = 1,
волновые числа излучаемых и поглощаемых линий равны
, = = \.+ [Г у +!)-/(/+ 1)] 21,
Если принять во внимание правило отбора Д/= +1, находим для /'==/+ 1:
v = ^ + (/+l)
4я2/с
ЗАДАЧА 78
АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
377
для У - J - 1:
v0 , h
\ -------------3 . ¦.
с 4л21с
Все разрешенные значения v можно представить выражением v = v0 + т 4 -2уе
(т - положительные целые числа). Таким обра-
зом, имеем
л- h 6,62• Ю 34 . 01 ,п3
Av = -- =-----------------------:-------------------77-----------------о-
= 1,31 • 103 м-
4я2/с 4 • 9,87 • 4,25 • 10-47 • 3 • 108
В задаче дано v = v0 + 7Av, так что
v0 = 2332 - 7 • 13,1 == 2230 см-', v0 = cv0 = 6,69 • 1013 с-1, k0 =
4n2(iVo = 2,93 • 102 H • м-1.
ЗАДАЧА 78
Расчет скорости света
С помощью решетки проведены точные измерения длин волн линий
колебательно-вращательной полосы окиси углерода 12С160, расположенной в
области 4,67 мкм; при этом для сосредоточенных вблизи центра полосы семи
линий получены следующие значения волновых чисел в см-1 в вакууме:
2131,635: 2135,550; 2139,430; 2147,084; 2150,858 и 2154,599.
Эти значения (как и для других линий в этой полосе) точно описываются
уравнением
v = v0± Вт - Cm2, (1)
где т - целые числа (т = 1,2,3, ...), а В и С - постоянные.
Кроме того, известно, что миллиметровые электромагнитные волны,
генерируемые клистроном, при прохождении через газ поглощаются на частоте
v = 114 737 -106 Гц, что соответствует первой линии в чисто вращательном
спектре (7 = 0->1). По этим данным найдите скорость света в вакууме.
РЕШЕНИЕ
Если рассматривать двухатомную молекулу как осциллятор и предположить,
что колебательная и вращательная энергии независимы, то волновые числа
колебательно-вращательной полосы определяются уравнением
v" . h
378
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 78
где v" - колебательная частота, т - положительное целое число, а У -
момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс молекулы и
перпендикулярной к линии, соединяющей ядра. Уравнение (1), заданное в
условии, получается из (2) при vo = vv/c и В = h/4n2Jc. Оно содержит
также дополнительный член Ст.2, обусловленный взаимодействием вращений и
колебаний.
Заметьте, что первые три заданных значения отличаются по v попарно на 4
