Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
При х = О
(50)
Эта теорема выражает закон сохранения энергии, независимо от того, в
каком плане она применяется (теорема Рэлея).
Приложения автокорреляции
В качестве типичного примера найдите автокорреляцию функции щели, а затем
F. Т. этой автокорреляционной функции. f(x)-действительная четная
функция. Имеем
(51)
396
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Различные функции показаны на фиг. А. 11. Автокорреляционная функция
зрачка, известная как функция пропускания, играет очень важную роль в
оптических приборах, освещаемых некогерентным светом (см. задачи 35 и
37).
Можно представить общее распределение светимости предмета суперпозицией
бесконечного числа синусоидальных переменных, каждая из которых
характеризуется:
определенным направлением волнового вектора; несущей частотой, обратно
пропорциональной длине волны (являющейся частотой рассматриваемой
синусоидальной компоненты) ;
амплитудой и фазой.
Эти различные синусоидальные компоненты проходят через оптический прибор.
При этом они отфильтровываются по закону, определяемому функцией
пропускания.
Функция пропускания определяет качество прибора. Она дает информацию обо
всех несущих частотах. По этой причине предпочтительнее характеризовать
прибор функцией пропускания, нежели его предельным разрешением, значение
которого определяет предельную частоту, пропускаемую прибором, но не дает
информацию о промежуточных частотах (см. задачи 35
В. Распределение Дирака, Распределение Пуассона
Некоторые функции, такие, как f(x) = 1, f(x) = cosx, ... не удовлетворяют
условиям, необходимым для преобразования Фурье. В таких случаях F. Т.
можно проводить только с некоторыми ограничениями.
Ряд Фурье может быть выражен в рамках F. Т. только с использованием
распределений. Мы не станем здесь касаться теории распределений, а лишь
приведем некоторые полезные определения и характеристики.
F(u)
-а 0 +а х
О 1/а
и
Фиг. АЛ 1
и 37).
ПРИЛОЖЕНИЕ А 397
1. Распределение Дирака
1. Определение
Рассмотрим очень узкий импульс 8(х) с очень большой высотой и с площадью
под кривой, равной единице:
6 (л:) = 0 для х ф 0 (52)
+ 00
^ 6 (л:) dx = 1. (53)
- оо
2. Графическое представление
Импульс б (л:) представляется пиком с высотой, нормирован-' ной к единице
(фиг. А.12,а).
3. Свертка Можно записать
+ 00
^ 6 (л:) f (x)dx = f (0), (54)
¦ ОО
^ 6 (х - a) f (х) dx = f (а), (55)
- ОО
+ оо
^ 6 (л:)f(x- a)dx - f(-a), (56)
- оо
Применяя это к свертке, получим + 00 +00
\ Hy)f (х - у) dy = Л 6 (х - у) f (у) dy = f (х), (57)
- ОО - оо
8(х) (r) f (х) - f{x) (r) b(x) = f (х). (58)
Функция Дирака является единичным элементом для свертки
'(так же как нуль является единичным элементом при сложении
и единица - единичным элементом при умножении).
4. Трансляция (сдвиг)
Основываясь на предыдущем уравнении, можно написать:
f (х - а) = f (х) <g> 8(х - а). (59)
Сдвиг можно представить как операцию свертки.
или
+ оо
398 ПРИЛОЖЕНИЕ А
5. Преобразование Фурье
Пусть А (и) представляет собой F. Т. для 8(х):
6 (х) А (и). (60)
Применяя теорему о свертке к (58), получаем
А (и) • F(u) = F(u), (61)
откуда
А (") = 1. (62)
Наконец
6(х)-^*Д(")= 1 (Фиг. А.12, б) (63)
при
+ оо
6(х)= ^ е~2л1и*йи. (64)
- оо
Если функция Дирака сдвигается на а, найдем
6. Свойства
ё(х - а) e2*iua. (65)
6 (ах) - jjj- б (х), (66)
б(- х) = &(х), (67)
f(x)6(x) = f(0)6(x) (68)
или
f (х) 6(х - a) = f (а) 6 (х - а). (69)
Принимая f(x) = л:, находим
4- оо
^ лг6(*) = 0 или лгб (лг) = 0. (70)
- оо
П. Ряды Фурье
1. Преобразование Фурье для распределения Пуассона (или "гребенчатого"
ряда Дирака).
Констатируем без доказательства, что F. Т. для распределения Пуассона с
периодом р - то же самое, что распределение Пуассона с периодом 1/р (фиг.
А.13), другими словами, что
4-оо 4-оо
? 6(х- kp)-~> ? б(и - j). (71)
k=3 - CO - 00
2. Преобразование Фурье неограниченной периодической функции
Пусть h(x) - неограниченная функция с периодом р.
Можно предположить, что h(x) получается путем сдвига на целые кратные
значения р простой сходящейся функции f(x)
г
ПРИЛОЖЕНИЕ А
399
(фиг. А14,а). Поскольку сдвиг является процессом свертывания, можно
записать
-f-оо
h(x) = f (х) <8> Z б(х - кр). (72)
k~ - со
Производя преобразование Фурье для обеих сторон, получаем
4-00
Н (и) = F (и) ? " ("-}); (73)
?=* - оо
и может принимать только дискретные значения k/р, так что
-j- оо
Я (") = ?f(y)-6("-|) (74)
- ОО
(фиг. А. 14, б).
Заключение:
F. Т. неограниченной периодической функции является некоторым
распределением;
если h(x) имеет период р, то Н (и) имеет период 1 /р; равномерно
распределенные дираковские значения равны F(k/p), где F(u) является F. Т.
для f(x), a F(k/p) - значение F(и) в точке и = k/р.
Обратимость. Подставляя (73) в (72), можно видеть, что преобразование
Фурье неограниченного периодического распределения является
неограниченной периодической функцией. Это единственный случай, когда
дираковские значения имеют одинаковый вес, так что преобразование Фурье
