Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Ra2 (Z - 3,5)4 / 2
24 1ч 1
(Ы)=
= 1,00- 104 CM-1,
Luid = 1, / = С'= 3,5) :
Ra2 (Z - 3,5)4 24
= 0,20 • 104 см-1.
(п == 2, j = 3/2 или '/г)
А^ = ^АГа, -VATa2=>
III
hvt = eV, eV 1,60 - 10~19 -105
eV
82 • 109 см-1,
he 3- 108-6,5- 10"34
Л = J-= 1,22 • 10_n m = 0,122 A.
vi ' '
ЗАДАЧА 76
АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
сбЭ
ЗАДАЧА 76
Эффект Мессбауэра
При радиоактивном превращении ядро 27С0 преобразуется в ядро гбИе в
возбужденном состоянии со средним временем жизни т = 1,45-10-7 с и
энергией на 14,4 кэВ выше основного состояния. Распад возбужденного
состояния происходит с излучением у-кванта.
1. Найдите ширину AW возбужденного состояния, а также относительную
естественную ширину Av/v линий у-лучей.
2. Предполагая, что излучающее ядро свободно и находится в состоянии
покоя, вычислите относительное изменение (Av/v)r при отдаче во время
излучения с данной частотой.
3. Природное железо содержит 2% атомов ^Fe. Его ядра в принципе способны
поглощать у-излучение посредством механизма, аналогичного оптическому
резонансу. Если ядро поглотителя, подобно ядру излучателя, свободно и
находится в состоянии покоя, будет ли наблюдаться резонансное поглощение?
4. Чтобы продемонстрировать это поглощение, между источником 27С0 и у-
детектором помещают железный экран, который может передвигаться либо по
направлению к источнику, либо от источника. Вычислите относительную
скорость экрана и источника, которая соответствует естественной ширине
линии; изменение частоты Av, соответствующее относительной скорости 1
мм/с, и относительную скорость, которую нужно сообщить экрану, чтобы
наблюдать резонанс.
5. Вычислите относительное уширение (Av/v)r линии, обусловленное тепловым
движением при Т = 300°С, пользуясь предположением о равномерном
распределении тепловой энергии, а также и соответствующей относительной
скорости.
6. В твердом кобальте (плотность р = 7,8-103 кг/м3) упругие волны
передают механическое движение со скоростью о = 3 км/с, и в частности
движение, обусловленное отдачей ядра. Определите число атомов,
участвующих в отдаче, и покажите, что относительным изменением частоты
(Av/v)r можно те перь пренебречь по сравнению с естественной шириной у-
линии.
7. На вершине 23-метровой башни помещен источник 27С0, который излучает
у-фотоны по направлению к основанию, где они принимаются. Вычислите
изменение частоты (Av/v)g как функцию Н, с и ускорения силы тяжести g' =
9,81 м/с2. Можно ли его обнаружить?
РЕШЕНИЕ
1. Поскольку основное состояние бесконечно устойчиво, неопределенность
энергии возникает только из-за ограниченности
/
370
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 76
времени жизни возбужденного состояния. Соотношение неопределенности,
связывающее энергию со временем, дает
дW&- = fa62-10!34. = 4>5б . 1Q-27 дж (1)
т 1,45 • 10
или 2,85-10~8 эВ. (Если принять AW-х " Ь, Д\Е == 4,5• 10~9 эВ.)
Относительная естественная ширина у-линии
- = = = 2:8A X?Z- =1,98 • КГ12 (2)
v hv W 14,4 ¦ 103 ' w
(при AW = 4,5-10-(r) эВ, Av/v = 3,14-10-13).
2. Ядро с массой m получает момент отдачи р, равный импульсу hv/c
излучаемого фотона. Кинетическая энергия отдачи р2/2т вычитается из
энергии перехода W, в результате уравнение баланса энергии имеет вид
"7 = '"' + tst = 41 + tsH <3>
Изменение относительной частоты излучаемого кванта равно
Т Av \ _ / \ hv , .
I v Jr"l j,- 2tnc2 • W
3. Предыдущая частота с измененным знаком получается при поглощении
фотона, передающего свой импульс ядру, в результате чего энергия,
необходимая для изменения внутреннего состояния при переходе из основного
в возбужденное состояние, равна энергии фотона, уменьшенной на величину
кинетической энергии, приобретенной ядром. Тогда относительный интервал
между поглощаемой и излучаемой частотами равен
hv 14,4- 103- 1,6- 10~19 " СА 1П-7
с2 57- 1,67-10-27 -9-1016
2,69 • КГ'. (5)
Это более чем в 105 раз больше, чем относительная естественная ширина. В
результате линии излучения и поглощения не перекрываются и резонансное
поглощение не наблюдается.
4. Передвижение железного экрана приводит к изменению частоты
поглощения вследствие эффекта Доплера. Изменение частоты, соответствующее
скорости 1 мм/с, равно
Av = у v = =и = 11,60 МГц.
Чтобы компенсировать изменение частоты, обусловленное отдачей, которое
определяется уравнением (5), экран должен приближаться к источнику со
скоростью
и = 2с (-^-) = 3 • 108 • 2,69 • КГ7 = 81 м/с.
ЗАДАЧА 76 АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
371
5. Уширение, обусловленное тепловым движением, равно
(^) =2л/Ш^=2л/~2'4М']0~21;72'3-^- = 16,36 • 10~7. V v )т У me2 У 57
• 1,67 • 10 • 9 • 10
Оно приблизительно в 106 раз больше естественной ширины и соответствует
относительной скорости
и = с =3 • 108 • 16,36 • 10-7 = 491 м/с.
6. При у-излучении за время жизни т движение в металле в результате
отдачи происходит на расстоянии vx и импульс передается объему
V = у я"3т3.
Число атомов в кубическом метре равно 9?р _ 6 - 1026 - 7,8 • 103 А 57
Число атомов, которым передается импульс, равно N = 4.3,14. (3.10". Ы5П0-
