Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
/ (х 4- х') 4- / (х - х') F (и) е~2л1их' 4- F (и) е2л1их' -
= 2F (и) cos 2лих', (14)
/ (х - х') - f (х 4~ х') F (и) е2л1"х' - F {и)е~2л'их' =
= 2jF (и) sin 2лих', (15)
2/ (х) - f (х - х') - f (х 4- х') 2F (и)[1 - cos 2лих'] -
= 4F (и) sin2 лих', (16)
f (х) cos 2пи'х -
= ±!(х)[е2л1л'х + е-2л1"'х] 1 [F(и + и') + F {и-и')], (17)
ПРИЛОЖЕНИЕ А 391
f (я) sin 2пи'х =
^~f (x)[e2*i"' f (x) sin2 ян'л: =
- у f (x) [1 - cos ^nu'x] -J [2F(u) - F(u-\- u')~ F{u - u')].
(19)
4. Изменение масштаба
Пусть а - действительная постоянная. Требуется произвести преобразование
Фурье функции f{ах). Сделайте замену переменной у = ах.
Если а > 0:
-f-oo -f- Оо
\ f (ах) е-^ихс!х = ^~ ^ f (у)е2я1и"1а dy = F (-j) , (20)
- ОО - оо
если а <С 0:
- оо
1 j ,21)
+ 00
В общем случае можно записать
?"")=-¦-Ггт'гШ- <22>
В частном случае, при о = -1, уравнение (22) записывается в виде
/(-*)-^Е(-и).
5. Виды симметрии
Проводя F.T. функции f*x), находим
+ оо
' (х) е~2я>их dx I =F*(-u), (23)
+ оо Г +00 ~1
^ f* (х) е1л'их dx = I ^ f (х) е~2я>их dx
~ оо J
ГМ^Г(-н). (24)
Нередко приходится исследовать функции с особым видом симметрии.
Предположим, что f(x) состоит из четных функций р(х) и нечетных функций
i(x).
Можно записать
f(x) = p (х) + i (х), (25)
где р(х) и i(x) могут быть комплексными.
392 ПРИЛОЖЕНИЕ А
Преобразование Фурье функции f(x) сводится к + 00 +00
F(u) - 2 J р (х) cos 2пих dx + 2/ J i (х) sin 2лих dx. (26)
о о
Найдены следующие общие результаты:
fix) действительная, четная -F(u) действительная, четная;
(27)
fix) действительная, нечетная ¦ -Р- ?•> F (и) мнимая, нечетная;
(28)
fix) мнимая, четная -- т'-> F (и) мнимая, четная. (29)
Следующая таблица суммирует эти результаты (Re обозначает действительную
часть, а 1ш - мнимую).
f(x)-p (x)+i (x)=Re [р (*)] + jlm[p (x)]+Re [г (x)]+j Im [г (x)], (30)
III I I
F(U)=P(")+/(")=Re [P (")]+/ Im IP (")]+Re [/ (")]+/ Im [/ (")]. (31)
Стрелки указывают на соответствие между преобразованиями Фурье.
IV. Распространение на функцию с двумя переменными
Принимая, что F(u, v) есть F. Т. для функции /(х, у), определяем:
+ оо + оо
F(u,v)= J J f(x, у) c2ni (ux+vy) dxdlj (32)
- оо - оо
и обратно:
+ оо +оо
fix, у) = J J F(u, v)e~2n>{ux+v") dudv. (33)
- ОО -оо
Функции f и F взаимно симметричны, причем одна является спектром другой.
Эти соотношения появляются, например, в принципе Гюйгенса, где по
известному распределению амплитуд на волновой поверхности можно с помощью
F. Т. рассчитать спектр F(u, v) функции f{x, у) и тем самым получить
дифракционную картину. Наоборот, если известна амплитуда дифрагированной
волны Fiu, v), можно рассчитать структуру волновой поверхности, которая
вызывает дифракцию.
ПРИЛОЖЕНИЕ А 393
V. Различные применения преобразования Фурье
В конце данного приложения в таблице приводятся некоторые примеры
преобразований Фурье, с которым читатель может встретиться (см. примеры
1-9).
В графическом представлении эти функции нормированы.
Б. Свертка
1. Определение
Пусть две функции f(x) и g(x) ограничены и суммируемы (фиг. АЛО,а и
АЛО,б).
0 >f(x) 7
А к
X
X h(x) 1 У 3 " .
О х
Сверткой этих двух функций называется функция h(x):
+ оо
А(х)= ^ f(y)8(x - y)dy. (34)
- оо
Эту запись часто делают с помощью следующего обозначения
h(x) = f (х) (r) g (х). (35)
Рисунки АЛО, в и АЛО, г иллюстрируют те операции, которые приводят к
свертке: функция g(-у) переносится на значение х. Затем получается
произведение f{y)g(x- у). Тогда ордината h(x) на фиг. АЛО,г будет равна
заштрихованной площади на фиг. АЛО, в.
394
ПРИЛОЖЕНИЕ А
II. Свойства
А. Коммутативность свертки
Произведем замену в уравнении (34): х- y=Y
+ 00
h
(*)= J f(x - Y)g (Y) d(-Y)= j d(x - Y)g (Y)
dY
h(x) = g <8) f. Б. Преобразование Фурье для свертки
f{x) -^->F(u) g (x) G (u).
(36)
(37)
Уравнение (34) можно записать в виде
+ 00 +оо
h(x)= ^ f(y) ^ G (ы) е-2я/"и-г,> dudy. (38)
- ОО - ОО
Таким образом, сохраняя порядок интегрирования, имеем:
+ 00 + ОО
h(x)- j) G(u)e~2n'ax j) f (у)е-Л>иУ dydu
- 00 - 00
+ 00
h(x)- j) F (и) G (и) е~2л1ах du.
(39)
В результате можно сформулировать следующую обратную теорему:
/ (r) g F. Т. г- > F ¦ G,
f • g F- 4. п ^ -> F (r) Н.
(40)
Эта теорема известна как теорема Парсеваля.
III. Частные случаи
а) Если в уравнении (34) х = 0, получаем
+ 00 + оо
А(0)= j) / (у) g (- У) dy = ^ F (и) • G (и) du.
- 00 ~оо
При f - g находим
+ оо +оо
^ f(x)f(-x)dx= ^ F2(u)du.
(41)
(42)
ПРИЛОЖЕНИЕ А
395
б) Корреляция Пусть
h' (х) = f (х) (r) g* (-х) = f(y) g* (у - х) dy.
Тогдг
F. Т.
fix)
g*(-x)-
>F(u), )
f-^+G*(u). j
Уравнение (43) принимает вид
+ оо
h'(x)= j F(u).G4u)e-W"xcl!!. - 00
В частном случае, когда х = О,
+ 00
Н'(0) = ^ F{u)G'{u)du.
- 00
в) Автокорреляция
f(x) = g(x). h'(x) = f(x)(r)r(- х).
Уравнение (48) принимает вид
+ 00
h' (х)= ^ [ F (и) р е~2п'их du.
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
Свертка f(x)<Sif*(-х) называется автокорреляционной функцией f(x), а ее
F. Т. есть \F(u) \ 2.
