Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
у.е.7,8-10" адз. 10"
Импульс передается массе, в N раз большей массы излучающего ядра, и
кинетическая энергия отдачи, которая входит в уравнение (3), в результате
этого пренебрежимо мала по сравнению с энергией hv. Тогда можно наблюдать
резонансное поглощение, причем мишень принимает в нем такое же участие,
как и поглощающие ядра.
7. Одним из фундаментальных принципов общей теории относительности
является эквивалентность между гравитационным полем и полем инерциальных
сил, появляющихся при ускоренном движении. Гравитационные силы земли
вызывают при своем действии равномерно ускоренное движение, и скорость,
приобретаемая массой т в результате свободного падения с высоты Н в этом
поле, определяется теоремой о кинетической энергии
- mv^ - mgH,
откуда
V2 = 2 gH.
Для наблюдателя, находящегося на земле, промежуток времени At связан с
промежутком времени At' в системе, движущейся со скоростью v,
соотношением
4'-¦ь? (1 -*")..
372
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 77
Если интервал At представляет собой период часов (которыми может быть
атомное ядро), то его относительное изменение при перемене системы
отсчета имеет величину
Т - Т' _ gff
При этом также имеет место относительное изменение частоты (Av/v)g,
которое называется "гравитационным эффектом Доплера". При заданных
параметрах
-Av _ *2'9'81 ~ 1 з , ю-15
v ~~ 9- Ю16 ~ *' ш '
а это трудно обнаружить.
ЗАДАЧА 77
Колебательный и вращательный спектры молекулы йодистого водорода
Рассмотрите двухатомную молекулу HI при обычной температуре. Она
совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр
тяжести G.
I
1. Рассчитайте приведенную массу молекулы и ее момент инерции /
относительно G. Межатомное расстояние примите равным г =. 1,6-10~10 м,
массу электрона m = 9,11 • 10-31 кг и относительные массы двух атомов тн
= 1836т и М] = 127тн.
2. Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид
А 1д/2<Э\. 1 3 / . Q 3 \ . 1 32 /1Ч
г2 dr V дг ) ^~ г2 sin 0 30 lSin 30 J ^r2 sin2 0 Зф2 - ^
Напишите независимое от времени уравнение Шредингера для стационарных
вращательных состояний молекулы. Рассчитайте значение ее вращательной
энергии Wj при условии, что уравнение имеет решение в виде ф = eiJ(P(sin
0)J.
II
1. Какова структура вращательного спектра газообразного HI?
Какова частота света, излучаемого или поглощаемого при переходе между
состоянием Wj и соседним с ним состоянием
ЗАДАЧА 77 АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
373
Wj+i? Найдите W&, Wь Ц72, и длины волн, излучаемые при переходах 0^1, 1
2, 2 ^ 3. К какой области частот они от-
носятся? ft = 6,62-10-34 Дж-с.
2. Предположите теперь, что колебательное движение молекулы не зависит
от ее вращательного движения. Если два атома удалены друг от друга на
расстояние г, отличное от г0, на них действует возвращающая сила F = -
k0s, где s = j г-г0|. При замене переменной q = s л/b уравнение
Шредингера для этого движения принимает вид
В этих выражениях Wv представляет колебательную энергию-молекулы, а
ее колебательную частоту.
а) При условии, что (2) имеет приемлемые решения только-в случае a/ft =
2v + 1 (где v - положительное целое число), напишите уравнение для
колебательных уровней энергии молекулы. Каково асимптотическое решение
уравнения (2)? К каким принципам квантовой механики можно обратиться для
подтверждения того факта, что минимальная колебательная энергия не равна
нулю?
б) Вспомните, что дипольный момент, связанный со всеми переходами п+±т,
приводящими к излучению, имеет величину
Вычислите (.Dg)oi и (Dg) 02, зная (с точностью до нормирующей
постоянной), что
Покажите, что таким образом можно проверить правило отбора Ду = ± 1 для
переходов между стационарными колебательными состояниями.
3. Предположите, что полная энергия молекулы WT является суммой ее
вращательной и колебательной энергий. Определите значение WT. Чему равны
волновые числа v излучения, испускаемого и поглощаемого молекулой, в
предположении, что-возбуждаются только один колебательный и большое число
(2)
где
(3>
(Dq)nm = e \ <7Ф>т dq.
- оо
ф0 = e~Q'12, ф, = qe-ч2'2, ф2 = (2q2 - 1) ехр ( - .
-374
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 77
вращательных уровней? Эта группа волновых чисел может быть представлена в
виде v = v0±mAv. Найдите численное значение Av. Найдите vo, vo и k0
[определяемые в (3)] при условии, что v = 2332 см-1 для т = 7.
РЕШЕНИЕ
I
1. Приведенная масса молекулы HI равна
тит, 127 127 ,, 07
^ = 7^7 = 128 'т" =Т28 • 1836 ' 9'П • 10 = Ь66 • 10 КГ-
Момент инерции
/ = рг02=1,66- 10"27- 2,56- 10"20 = 4,25- 10~47 кг • м2.
2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний движения массы р имеет
вид
Дф + -§2(Ц7-Ц7р)ф = 0.
В данном случае, когда Wp = 0, А имеет заданную форму,
а го - величина, постоянная во время вращения, имеем
1 д ( . Q 5ф \ | 1 52ф . 2р 1Г/ _
-5--------( Sin 0 7- I 5------^ + -21-Ц7ф = 0
r2sin0 50 у 50 ) rgsin20 5<р2 Й
ИЛИ
dQ2 -I-erg dQ -t- sin20 5(p2 -t- fi2 ф u. ^
Подстановкой предполагаемого решения в это последнее уравнение получим
