Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
q = K-$k, р = к + $к, Ъ = У p. (IX.5.23)
Здесь |3 - параметр, имеющий размерность [pZ2]. Вводя
новую переменную Q - Уq2 + ?2, представим уравнение (IX.5.22) в виде
2 dF-i d2F2 ^ ,jy с: г>*\
+ (IX.5.24)
Решение этого уравнения, аналогичное (IX.5.13), может быть получено таким
же способом. Окончательное выражение имеет вид
р'х- - fl + 1а -
г X \ Хо
23ро [3 .
-izrr*+p'x + -^ 1 + 1п
2,Зро ,
8Ж2 Г
Это решение описывает в акусто-геометрическом приближении распространение
почти сферической волны конечной амплитуды, ограниченной в пространстве в
виде параксиального конического пучка, и позволяет рассмотреть сходящиеся
и расходящиеся звуковые bojjhh.
Для анализа выражения (IX.5.25) в случае расходящегося пучка выберем
произвольную функцию Ф в виде, представленном на рис. IX.6, только теперь
по оси абсцисс следует отложить другую величину
У[р'х~ 7(1 + 1пУ]2+^г2 + р'ж+ т(1 + 1п г)-
Рассуждая так же, как и при рассмотрении квазиплоской волны, можно
определить угловую ширину пучка:
<1Х'5-26)
248
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Величина А выражается через (р'ж)тах, т. е. через значение р'ж на оси
пучка. Определяя величину размерного параметра |3 через угловую
полуширину пучка ср0 (при х = хй):
Р--, 'АЧл V ¦ <IX'S'27)
2и (f!+'?sr)
получим окончательное выражение для угловой полуширины пучка:
<'-'!+й,-т(1 + Ч)]' <1Х'5'28>
Зависимость ф2 (х/х0) представлена на рис. IX.12. Аргумент произвольной
функции Ф позволяет определить распределение "амплитуды" импульса по
сечению пучка.
Рис. IX.12. Изменение угловой полуширины расходящегося пучка.
При х = х0 амплитуда прямоугольного импульса сжатия уменьшается к краям
пучка:
рГ-рГ"(1_ * ); (IX.5.29)
\ -хоТо /
здесь р'тах - амплитуда импульса на оси. Таким образом, сферический
импульс сжатия, расходящийся из точки х=0, ограниченный в пространстве в
виде пучка с угловой шириной 2ф0 (при х = х0), с амплитудой,
уменьшающейся к краям пучка, при распространении в
нелинейной среде становится более расходящимся. Угло-
§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 249
вая ширина пучка увеличивается, стремясь асимптотически при х -*¦ оо к
постоянной величине ф^, равной
Так как на оси пучка величина возмущения больше, то центральные точки
уходят вперед, а периферийные отстают, и пучок расходится сильнее. Однако
на достаточно больших расстояниях амплитуда волны уменьшается,
нелинейность уже не играет существенной роли, и это приводит к
стабилизации угловой ширины пучка.
Длительность сферического импульса сжатия при этом уменьшается и при х -
"- оо становится постоянной. Здесь так же, как и в случае квазиплоской
волны, дополнительная расходимость обусловливает более медленное движение
переднего фронта импульса по сравнению с задним. Множитель перед
произвольной функцией, определяющий изменение длительности импульса, при
х -v оо стремится к постоянной величине, равной 1. На достаточно больших
расстояниях от х0 выражение (IX.5.25) принимает вид F2 = Ф (р'х) или
При этом распространение сферической волны происходит по прямым линиям
(г/х) = const, на каждой из которых F2 является функцией р'х. Таким
образом, при больших х ограниченность пучка не сказывается.
Для х, изменяющихся от значений х = - оо до нуля, выражение (IX.5.25) с
произвольной функцией Ф, изображенной на рис. IX.6, описывает
распространение сходящегося сферического импульса сжатия. Этот импульс
имеет прямоугольную форму при х = - ж0 и ограничен в пространстве в виде
пучка. Амплитуда импульса уменьшается к краям пучка по закону (IX.5.29).
Задавая ширину пучка ф0 при х = - ж0, можно определить его ширину в любой
точке х:
Рохо
(IX.5.30)
еА
ро | хо I
250
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУПКОВ
Эта зависимость изображена на рис. IX.13. Как видно из рис. IX.13, пучок
сходится быстрее, чем в линейной среде. При выпуклом распределении
амплитуды импульса по сечению пучка центральные точки отстают, а краевые
выдвигаются вперед, и волна становится более расходящейся. При этом
длительность сходящегося импульса сжатия увеличивается.
Рис. IX.13. Изменение угловой полуширины сходящегося пучка.
В заключение отметим, что в точках х, близких к фокусу, решение (IX.5.25)
перестает быть справедливым. При ширине пучка, сравнимой с длиной волны,
существенную роль начинают играть дифракционные эффекты.
ГЛАВА X
О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
В НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ
§ 1. Случайно-модулированные звуковые волны
Предыдущие главы были посвящены рассмотрению нелинейных волновых
процессов, протекающих в регулярных звуковых полях. Когда речь шла об
одном или нескольких гармонических возмущениях на границе среды, то
подразумевалось, что исходный спектр представляет собой совокупность
дельта-функций. Точно так же бесконечно узкими считались спектральные
линии возникающих в среде гармоник и комбинационных частот. Случай
широкого исходного спектра соответствовал импульсному возмущению, форма
которого тоже вполне детерминирована.
Вместе с тем естественно применить аппарат нелинейной акустики к анализу
