Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 67

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 81 >> Следующая

(IX.4.16)
Уравнения (IX.4.13)-(IX.4.15) позволяют вычислить Е, D, С по известным
значениям A, S:
expl-2?V(l + 6*)] й"р[-2^/(1+Л*)]
2 (1 + 62)2 ' и 2 (1 + 62)2 >
С - - (1 - -гхж ) "р ЗСТ(1 + Д1)| . (IX.4.17)
V 1 + 6s ) 2 (1 + 62) * V '
Таким образом, задача решена с точностью до членов, содержащих множитель
N'2. Выражение для R при небольших N действительно слабо отличается от
формулы (IX.3.1).
Проанализируем теперь более точное решение (IX.4.10), (IX.4.16),
(IX.4.17). Вычисление величины R2 вполне аналогично по схеме тем
операциям, которые привели к выражению (IX.3.4). Опуская выкладки,
запишем окончательную формулу для Е-
?=PJo"ptz^±^m + 0(N2). (IX.4.18)
Существенно, что это выражение не содержит членов порядка N. Изменение
ширины пучка энергии происходит только вследствие дифракции - ширина
пучка растет. Несмотря на наличие нелинейных членов в выражении для R,
формула (IX.4.18) имеет в точности такой же вид, как и в линейном
приближении.
Аналогичным образом можно показать, что величина R равна нулю также с
точностью до членов порядка N2. Это означает, что, несмотря на деформацию
профиля первоначально гармонической волны, площади ее положительного и
отрицательного полупериодов равны, т. е. профиль постоянной составляющей
не содержит.
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
В заключение отметим, что все полученные в настоящей главе результаты
справедливы только для бесконечно больших акустических чисел Рейнольдса
Re. Удержание диссипативных членов в уравнениях (IX.2.3), (IX.2.4), как
известно, при N = О позволяет учесть конечность ширины фронта ударной
волны и описать процесс его рассасывания. Одновременный учет
диссипативных процессов и дифракции, возможный на основе решения более
общего уравнения [1151
д / д;У 8 , др' Ь 92р' \ с0 . ,
дх \ дх соро Р 9т 2с3р0 9т2 J 2 хР ' (IX.4.19)
может дать дополнительные сведения об особенностях формирования и
рассасывания фронтов в квазиплоских ограниченных пучках звуковых волн
конечной амплитуды.
§ 5. Нелинейная геометрическая акустика.
Искажение однополярных возмущений
Вопросы, сформулированные в названии этого параграфа, наиболее подробно
рассматривались в работе [112]. Соответствующие материалы можно отыскать
также и в статьях [57, 109]. В своем изложении мы будем главным образом
следовать работе [112], но дадим несколько менее громоздкий вывод
основных уравнений.
Для перехода к приближению нелинейной геометрической акустики удобно в
исходном уравнении (IX.1.12) совершить замену переменных. Считая т новой
независимой переменной:
т = S (х, г, р') (IX.5.1)
и дифференцируя выражение т = S (х, г, р'[(х, г, г)) для вычисления
производных, входящих в (IX. 1.12), можно получить следующее уравнение:
§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 241
Как нетрудно убедиться, выражения
51 = -^Г*Р'' <1Х-5-3>
являются точными решениями уравнения (IX.5.2), а следовательно, и
исходного уравнения (IX. 1.12). Ценность этих решений состоит в том, что
они представляют собой фазы плоской и сферической волн,
распространяющихся в нелинейной среде. Однако сами по себе точные формулы
(IX.5.3), (IX.5.4) мало интересны. Для отыскания более интересных
решений, описывающих поведение различных начальных возмущений,
целесообразно, отправляясь от (IX.5.3), (IX.5.4), искать приближенные
решения в виде
Sl = ~ ^ хр' + 4"Fl (;r' r' р,)' (IX.5.5)
х ln i р' + -йг+4-F* &г' р')- (1Х-5-6)
Подставляя эти выражения в уравнение (IX.5.2) и пренебрегая членами,
нелинейными по F, получим
^ + + = (".5.7)
a"Ft _r_ d*Fj _ j/_ / д*Рг J_ dF2 \
dx dp' x dr dp1 x ^ Qp/' ' p' dp' J "
+ + ("-S.**)
Совершив переход к линейным уравнениям, мы тем самым ограничились рамками
геометрической акустики, что справедливо для достаточно больших радиусов
пучка по сравнению с длиной волны. Дифракционные эффекты при этом
выпадают, так как они описываются членами, квадратичными и кубичными по
F. Таким образом, предполагается, что поперечные изменения, обусловленные
нелинейными свойствами среды, превосходят дифракционные эффекты. Несмотря
на проведенные упрощения, урав-
242
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
нения (IX.5.7), (IX.5.8) остаются достаточно сложными, но они уже могут
быть решены в ряде представляющих интерес случаев.
Рассмотрим вначале решение уравнения (IX.5.7) для квазиплоской волны. С
помощью замены переменных
р - р'+ fir2, q = р' - fir2, g = 2 ^, (IX.5.9)
где (3 - коэффициент, имеющий размерность [p/Za], (IX.5.7) приводится к
гиперболическому уравнению вида
, а*/1! , 1 8F, а*Л n ,TV "
+ + ------dq*" (IX .5.10)
Однако решить общую задачу для линейного гиперболического уравнения
(IX.5.10) с произвольными граничными условиями не удается, так как в
результате замены (IX.5.1) граничные условия для функции F становятся
неоднозначными. Поэтому построим частное решение уравнения (IX.5.10).
Вводя новую переменную Q = YР* + 1а* представим (IX.5.10) в виде
3V! . 2 ал э*л _0
HqF ~^~Q~dQ дср~ (IX.5.11)
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed