Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Выбор переменной Q в виде определенной комбинации переменных р и |
существенно сужает класс решений уравнения (IX.5.10).
Решение уравнения (IX.5.11) может быть представлено в виде
F1=±<b1 "? + ?)• (IX.5.12)
Здесь Фг - произвольная функция аргумента Q -f- q. Полагая Фг равной V2
(Q -ф- q) Ф (Q q), где Ф - другая произвольная функция, и возвращаясь к
прежним переменным, получим
]/V + Р*2)2 + ^ + (р' _ №)
X Ф []/"(р' + Р^2)2 + -^1 г2 + (р' - рж2)] . (IX.5.13)
§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 243
Для анализа выражения (IX.5.13) выберем функцию Ф в виде, представленном
на рис. IX.6. По оси абсцисс отложен весь аргумент функции Ф:
л = J/Ap' + NT + г* + (р' - N2)-
Функция Ф определена до значений rj, равных А. С ростом жиг значения р',
при которых Ф отлична от
А >
Рис. IX.6. График функции Ф (гр.
Рис. IX.7. Нелинейная рефракция импульса сжатия.
нуля, уменьшаются отрфах = П/2 (при х = 0 и г = 0) до нуля при х и г,
связанных соотношением
Этах
г=р",/
(IX.5.14)
Определяя коэффициент |3 через полуширину пучка г0 на границе нелинейной
среды:
Р =
8Ртах
Ро^о
(IX.5.15)
получим выражение для ширины пучка:
Y
(r)Ра
г = ±г 0 1/ 1
Ро'о
(IX.5.16)
244 ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Выражение (IX.5.16) показывает, что импульс сжатия, локализованный в
пространстве в виде пучка, по мере распространения расплывается. Этот
факт известен в геометрической акустике как нелинейная рефракция лучей.
Зависимость ширины пучка от пройденного расстояния представлена на рис.
IX.7.
При r0-v оо величина (I стремится к нулю, и выражение (IX.5.13) переходит
в решение Римана для плоской волны: Fx - Ф (р').
А
Р
t
_L
t t
Рис. IX.8. Форма импульса р' it) на границе нелинейной среды при
различных значениях г.
Р'
Р
А
Р
Рис. IX.9. Зависимость р' (т) на некотором расстоянии ад ;> 0 от границы
среды в разных точках поперечного сечения.
На рис. IX.8, IX.9, IX.10 представлены зависимости р' (т) при различных
значениях х в разных точках поперечного сечения г. Рис. IX.8 изображает
форму импульса р' (t) на границе нелинейной среды (х = 0) при различных
значениях г : г - 0 - кривая 7, г = гг 0 - кривая 2 и г = г, )> rj -
кривая 3. С увеличением поперечной координаты "амплитуда" импульса
уменьшается по параболическому закону:
Ртах
('-Т>
(IX.5.17)
$ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 245
Кроме того, к краям пучка несколько сокращается длительность импульса.
На рис. IX.9 показана зависимость р' (т) на некотором расстоянии x-l 0 от
границы нелинейной среды в различных точках поперечного сечения: кривая 1
соответствует значению г = 0, кривая 2 - г = ги кривая 3 - г = г2, кривая
4 - г = г3; г3 ^> г2 (значения гг и г2 те же самые, что и на рис. IX.8).
А
Рис. IX.10. Форма импульса на расстояниях хч 2§> х\.
Р\
Форма импульса на расстояниях х7^>х1 представлена на рис. IX.10.
Поперечная координата принимает здесь следующие значения г = 0 (кривая
1), г = (кривая 2), г =г3 (кривая 3) и г = г4 (кривая 4).
Проведенное построение показывает, что квазиплоский импульс сжатия с
"амплитудой", спадающей к краям пучка, при распространении становится
расходящимся: центральные
точки уходят вперед, а периферийные отстают. Кроме того, имеет место
сокращение длительности импульса, так как передний его фронт движется с
меньшей скоростью, чем задний, пространственная расходимость
X
Рис. IX.И. Качественная зависимость р' от х.
Причиной этому является импульса; зависимость р' от х качественно
изображена на рис. IX.11. Сжатие импульса во времени определяется
множителем, стоящим перед произвольной функцией в выражении (IX.5.13). На
оси пучка, т. е. при г = 0, выражение (IX.5.13)
246
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЬ1Х ПУЧКОВ
принимает вид
F1 =----------BL-- Ф (р'). (IX.5.18)
, , 8Ртах
При х Ф- 0 множитель перед функцией Ф меньше единицы. С ростом х этот
множитель уменьшается, что и означает сокращение длительности импульса по
мере распространения.
Аналогичным построением можно показать, что импульс разрежения,
локализованный в виде пучка, распространяясь в нелинейной среде, сужается
в пространстве. Ширина пучка определяется выражением
г = ±гл[ 1 - ^!^Lxll2. (IX.5.19)
У Ро г"
Решение (IX.5.13) описывает распространение импульса разрежения до
координаты х - rjYspmax/po-
Наряду с пространственным сужением происходит и процесс увеличения
длительности импульса.
В тех случаях, когда мы имеем дело с квазисфериче-ской волной, функция S
явным образом зависит от координаты г (см. выражение (IX.5.6)) и вместо
(IX.5.7) необходимо рассматривать более сложное уравнение (IX.5.8). С
помощью замены переменных
к = р'х, к = -L(l + ln^-), Т] = -^Г- (IX.5.20)
последнее приводится к следующей форме:
d2Fz е / diFi , 1 8F2 \ ^ /TY t; oi\
-Щк~ (1X.P.Z1)
Уравнение (IX.5.21) приводится к стандартному гиперболическому уравнению
§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 247
если воспользоваться новыми переменными q, р, связанными со старыми
соотношениями
