Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
возникают.
ГЛАВА IX
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ § 1. Уравнение нелинейной
акустики ограниченных пучков
Во всех предыдущих главах рассматривались лишь одномерные - плоские,
сферические и цилиндрические волны. Что же касается многомерных звуковых
волн в нелинейных средах, то их изучение началось сравнительно недавно и
число имеющихся публикаций на эту тему невелико [57, 109-112].
Дело не столько в неактуальности проблемы, напротив, в акустике длина
волны намного больше длины электромагнитной волны той же частоты и, как
правило, не слишком мала по сравнению с размерами источника звука. Учет
дифракционных эффектов, следовательно, здесь принципиально необходим.
Главной причиной отсутствия значительных результатов в этой области
являются чрезвычайные математические трудности, с которыми приходится
сталкиваться исследователям.
Настоящая глава является, по-видимому, первым обобщением результатов,
посвященных ограниченным звуковым пучкам, и поэтому включает в себя
довольно много оригинального материала.
Полная система уравнений, описывающих распространение возмущений конечной
амплитуды в газе или жидкости без затухания, состоит из уравнений
(В.1.1)-(В.1.3). Пусть ограниченный двумерный пучок распространяется
вдоль оси х. Вектор скорости имеет две компоненты: vx и
§ 1. ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
225
vy; поперечная компонента vy связана с расходимостью пучка. Представляя
плотность р как р0 -f- р\ приведем уравнения непрерывности и движения к
следующей форме:
' При рассмотрении различных задач будем задавать начальное возмущение
при х = 0 в виде р' = ф (t, у). Считая среду полубесконечной в
направлении х, ограничимся отысканием решений уравнений (IX.1.1)-(IX.1.3)
(совместно с уравнением состояния) в виде бегущих вправо волн.
Как показано в гл. II, в случае плоских волн конечной амплитуды система
гидродинамических уравнений имеет решения вида
Ограниченность пучка совместно с нелинейностью приведут к медленным
Изменениям формы волны но только вдоль направления распространения, но и
поперек. Поскольку переход в область тени происходит довольно резко,
естественно предположить, что изменения всех величин поперек пучка
происходят быстрее, чем вдоль, и искать решение уравнений (IX.1.1)-
(IX.1.3) (предварительно исключив, как обычно, р с помощью приближенного
уравнения состояния р' = Сор' + (у - 1) СоР'72р0) в виде
V, р',р' = F (рх, t - (IX. 1.4)
v,p' = F (y,x, Yv 2/,* = * - (IX.1.5)
226
ГЛЛХ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
В результате несложных преобразований получим с точностью до членов
порядка р2:
dp' ро dvx _ vx dp' ,
' - ~Z 37" л
дх Со дх со дх
п' dv dv dv..
+ (IX.1.6)
dp' po p' dvx
дх со дх со dx
dV* - (T-1)4-4^+ ' (XI.1.7)
--Z2-V ¦
c2 x dx 4 * ' po dx 1 u dx
po 4r + c"lr = 0- ¦ <XL1-8>
При выводе уравнений (IX.1.6)-(IX.1.8) предполагается, что поперечная
компонента скорости vv имеет порядок р так как она связана с
расходимостью пучка.
Уравнения (IX.1.6) и (IX.1.7), как нетрудно видеть, содержат малые члены
первого порядка малости, стоящие слева, и малые члены второго порядка
малости. Ограничиваясь малыми членами только первого порядка, можно
получить известные линейные соотношения, выражающие возмущения скорости и
плотнрсти в виде функций друг от друга: р' = p0vjc0, vx = с0р7р0.
При распространении волн конечной амплитуды между г)ж и р' должна
существовать более сложная связь, и в эти простейшие соотношения войдут
дополнительные члепы второго порядка малости. Существование
дополнительных членов первого порядка малости исключается, ибо в первом
приближении задача в точности соответствует задаче распространения
плоских волн бесконечно малой амплитуды.
Заметим, что левые части уравнений (IX.1.6), (IX.1.7) одинаковы, поэтому
приравняем правые части уравпений, содержащие члены только второго
порядка малости, и исключим vx при помощи соотношения vx = с0р7р0:
др' др' Ро
dv
V
г sw а 9 а -°- (IX.1.9)
соро дх дх 2со ду 4 '
Из двух уравнений (IX.1.8), (IX.1.9) можно исключить переменную
vv и получить искомое уравнение для
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
227
переменной р' [57]:
Как будет показано ниже, это уравнение учитывает одновременно и
нелинейные искажения, и поперечные изменения возмущения, обусловленные
дифракционной расходимостью. Поэтому можно утверждать, что оно описывает
во втором приближении распространение ограниченных двумерных пучков в
нелинейных средах без потерь.
В том случае, когда пучок является трехмерным, т. е. все три компоненты
скорости - продольная vx и две поперечные vv и vz (связанные с
расходимостью пучка) - отличны от нуля, аналогичные выкладки приводят к
уравнению
JL(i?l_________8 П':др' \ _ со I д2р' . ау \ ПХ 1
дх \ дх соро Р дх ) 2 \ дуг ^ 3z2 )' (
Легко видеть, что правая часть содержит оператор Лапласа по поперечным
координатам и ее можно символически
представить в виде -у- Aj_p'. Если пучок обладает аксиальной симметрией,
то удобно ввести одну поперечную координату г = \/~z2 у2 и записать
