Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
_ _Hsl_
= Ж *1 + 6" 'cos2 (9-^TT6T + arctg6) • (1Х-4Л)
Для отыскания решения уравнения (IX.4.1) удобно представить его правую
часть в комплексной форме. Затем аналогично тому, как это делалось при
отыскании первого приближения с подстановкой RW = (1 IN) Аei2°, надо
перейти к уравнению для комплексной амплитуды - теперь уже второй
гармоники. В результате получим
ласти после образования разрыва.
*) Это явление наблюдалось экспериментально [138].
236
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
неоднородное уравнение диффузии
2 i
, АЛ(2> 1 / 62/1(2) , 1 9Л(r) \ _
1 / а2
4 \ с
62
ехр[- 2?а|±Ц- + i2arctg 6 j . (IX.4.2)
Решая уравнение (IX.4.2) с условием на границе: при б = = О Л(2> = 0 и
возвращаясь к Д<2>, найдем [111]
охр
Д(2) = -X cos 2
• 2^/(1 + 62)] Vln2(l + 4 N
I -f- 4arctg2 6
¦62
У1 + 62
+ ~ arctg б arctg
X (IX.4.3)
2arctg 6 In (1 + б2)
Таким образом, при больших значениях N решение уравнения (IX.2.4)
находится с помощью метода последовательных приближений. С точностью до
членов порядка
UN2 оно имеет вид Д - = i?(1) -р Д<2>, где (Д1) и Д(2> даются
соответственно выражениями (IX.2.17) и (IX.4.3).
Перейдем к физическому анализу полученного результата. Как видно из
формулы (IX.4.3), генерация второй гармоники в ограниченномпучкепроис-
ходит существенно иначе, чем в плоской волне. На рис. IX.5 изображена
функция Ф (б) = {[In2 (1 + б2) -р 4 arctg2 б]/(1 -j- б2)}1/*,
определяющая изменение амплитуды второй гармоники на оси звукового пучка.
Вначале (при малых б) амплитуда нарастает по линейному закону, как и в
плоской волне. Однако в дальнейшем дифракция приводит к стабилизации, а
затем и к уменьшению амплитуды. Следует отметить, что имеется некоторое
сходство между кривой на рис. IX.5 и кривой, иллюстрирующей поведение
амплитуды второй гармоники в нелинейной среде с диссипацией (см. рис.
II.1). Эта аналогия, однако, является чисто внеш-
Рис. IX.5. Изменение амплитуды второй гармоники на оси пучка.
§ 4. РЕШЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ У
237
ней, поскольку дифракция, в отличие от процессов диссипации, не может
составить конкуренции нелинейному искажению профиля волны и при
достаточно больших а решение становится разрывным. Как известно, в методе
последовательных приближений расстояние образования разрыва определяется
из условия | Х(2> | / ( А[ = 1/2 или, в нашем случае,
_L-e 1+5! ]Aln2 (1-1-б2) + arctg2б =. (IX.4.4)
Поскольку 7V^>1, то и бр = Убр 1 и формула (IX.4.4) приводит к простому
соотношению стр = eNIN. Сравнивая выражения (IX.2.17) и (IX.4.3), можно
заметить, что ширина пучка второй гармоники:
а,(6) = -^=/Г+Т* (IX.4.5)
увеличивается пропорционально ширине пучка основной частоты, оставаясь
при всех б в j/~2 раз меньше по величине. Отсюда видно, что генерация
гармоники интенсивнее всего идет вблизи оси звукового пучка.
В другом, наиболее интересном предельном случае малых чисел N,
нелинейность сказывается сильно и решение должно, по-видимому, слабо
отличаться от римановского (IX.3.1).
Будем искать это асимптотическое (при N -> 0) решение уравнения (IX.2.4).
Предварительно преобразуем последнее, перейдя к новым независимым
переменным
0 = 0, 5 = 5, Г = 0 + 0Л. (IX.4.6)
Уравнение примет вид RaT 6 (RaR тт - RtR°t) -
= 4- (% + XRz) + [RzRw - RtR& - T RtRz) +
-\-^ЛгтЛ| -f- Rj-R^z H-RtR% - 2RtRzRzt^J ¦ (IX.4.7) При N = 0 придем к
порождающему уравнению
RaT б (RoRtT - RtRot) - 0
(IX.4.8)
238
ГЛ.IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
которое в переменных (IX.4.G) имеет простое решение
R = A (I) sin [Т S (|)]. (IX.4.9)
Отправляясь от (IX.4.8), (IX.4.9), будем искать решение уравнения
(IX.4.7) в виде
Л = /1 втф + Др- [D sin 2ф -f- Е cos 2ф] -j- С совф.
(IX.4.10)
Здесь ф = Т -f- S\ A, D, S, Е, С - искомые функции двух переменных б =
Na,
Сохраняя при всех преобразованиях члены, содержащие множитель N не выше
чем в первой степени,- подставим значения производных, вычисленных на
основе (IX.4.10), в уравнение (IX.4.7). В силу выбранного специального
вида решения (IX.4.10) члены при № отсутствуют, и все сохраненные в
уравнении члены имеют порядок малости N. Собирая выражения, стоящие при
множителях б° sin ф, о0 cost)), a sin 2ф, о cos 2ф, постоянной
составляющей, о2зтф, о2созф, о2 sin Зф, п2 cos Зф, получим девять
уравнений, из которых независимыми оказываются только пять. Заметим, что
члены при а3 также сокращаются в силу специального вида решения
(IX.4.10).
Итак, имеем пять независимых уравнений для пяти переменных A, S, D, Е,
С'.
Аь = 4 (S& + 4 Sz) + 4 (IX.4.И)
л5- (ix-4-12)
л =4 (а^ + ~а)~~а1 (IX.4.13)
D= - 4(^ + 4^)' (IX.4.14)
С = + (IX.4.15)
Уравнения (IX.4.11), (IX.4.12) связаны и имеют в точности такой же вид,
как и для линеаризованного уравнения (IX.2.4), если решение последнего
искать в виде
% 4. РЕШЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ У
239
R - A sin (9 + S). Поэтому их решениями, как легко проверить, являются
выражения для амплитуды и фазы, взятые из формулы (IX.2.17):
4 = -удг1 ' 5 == - б-
