Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (IX.1.11) в следующей форме:
д / др' 8 , др' \ со / д2р' ._________1 ~др' \
дх V дх Соро дх ) 2 \ дгг 'г дг )'
(IX.1.12)
К сожалению, в настоящее время не найдено сколько-нибудь интересных
физически точных решений уравнений (IX.1.10) - (IX.1.12). Поэтому все
дальнейшие разделы этой главы посвящены рассмотрению различных
приближенных решений и предельных случаев.
§ 2. Параболическое уравнение. Некоторые задачи
линейной теории дифракции
Если нелинейность среды проявляется гораздо слабее, чем дифракция, можно
пренебречь нелинейными членами в уравнениях (IX.1.10), (IX.1.12) и
рассматривать
228
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
соответствующие линейные уравнения
ЗУ _ СО зу
(IX.2.1)
дх дх 2 дуг '
Покажем более строго, в каких случаях такой переход правомерен. Для этого
введем безразмерные переменные R - р'/ро, о = е(ороя;/с0р0, 0 = ют, | =
у!а (для плоского пучка) или ? = г!а (для аксиально-симметричного пучка).
Здесь ро, со, а - некоторые характерные константы. Так, например, если
начальное возмущение на границе (при х = 0) ^задано в виде р' = pi exp (-
r2/a2) sin от, то pi имеет смысл начальной амплитуды волны; со - частоты
и а - характерной ширины пучка гауссовой формы. В новых переменных
уравнения (IX.1.10), (IX.1.12) примут вид
- число, характеризующее относительный вклад нелинейных и дифракционных
эффектов в искажение профиля волны [110]. Оно определяется в основном
двумя величинами: отношением длины волны Я к ширине пучка а и числом Маха
М. По смыслу число N аналогично акустическому числу Re'1, учитывающему
относительный вклад нелинейных и диссипативных эффектов.
При N->oo преобладают дифракционные эффекты, и в полученных уравнениях
можно пренебречь нелинейным членом RdR/dQ.
Рассмотрим вначале задачу о распространении двумерного пучка, заданного
на границе среды в виде плоской неоднородной волны:
(IX-2.3)
Здесь
2пЧМ
(IX.2.5)
R = sin 0.
(IX.2.6)
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 229
Если искать решение соответствующего линейного уравнения в форме R = Im А
(о, ?) ei9, то для комплексной амплитуды А получим параболическое
уравнение с мнимым коэффициентом диффузии [113]:
*^- = 4-(IX.2.7)
которое просто решается с помощью метода разделения переменных. Записав
частное решение уравнения (IX.2.7) в виде А (а, ?) = 2 (cr)-S (?),
подставим это выражение в (IX.2.7) и после разделения переменных придем к
двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
Н" + к2Е = 0, ;2' + ^к22 = 0. (IX.2.8)
Они имеют следующие решения:
N
гп2 - а
3 == А (п) cosh! + В (п) sin п\, 2 = е 4 . (IX.2.9)
Поскольку уравнение (IX.2.7) линейно, а п - произвольный параметр, для
удовлетворения начальному условию: при а = 0 А - е--2 сконструируем
решение этого уравнения в виде линейной комбинации найденных частных
решений:
оо . N
л гп2 а
'А = ^ [А (п) cos г&, -|- В (п) sin п\] е 4 dn. (IX. 2.10)
Коэффициенты А (п), В (п) однозначно определяются из условия на границе:
ОС
е<' = § [А (п) cos"? -f- В (п) sin riZ\ dn.\ (IX.2.11)
о
Поскольку левая часть (IX.2.11) есть функция четная, В (п) = 0.
Коэффициент А (п) можно найти, воспользовавшись обратным косинус-
преобразованием Фурье от начального условия для амплитуды А (0, ?):
230
ГЛ. IX. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
Сравнивая последнее выражение с выражением (IX.2.11), найдем
Л(п)=^-. (IX.2.13)
у л
Теперь достаточно взять интеграл (IX.2.10) и вернуться к действительным
переменным, чтобы получить искомое решение
л
1+Л'2а2
R = -si.n
у 1 4- N*3*
0- Е2
i + m* +4-arct^H-
(IX.2.14)
Формула (IX.2.14) описывает постепенный переход от плоской (при No = 0) к
цилиндрической расходящейся волне (при Na-> ос).
Как легко видеть, дифракция приводит к увеличению ширины пучка: а (а) = а
У1 + А^ст2, уменьшению амплитуды волны: ро (п) = po/p^l + №о2 и
искривлению поверхностей равной фазы.
Аналогичная задача для аксиально-симметричного трехмерного пучка может
быть решена точно таким же образом. Отличие состоит лишь в'том, что
решение, удовлетворяющее начальному условию (IX.2.6), вместо (IX.2.10)
ищется в следующем виде:
оо . N
Sin2 я
c(n)J0(nQe 4 dn, (IX.2.15)
а константа с (п) определяется из сравнения этой формулы взятой при а =
0, с обратным преобразованием Ханкеля от функции е~'-2\
оо
е ^ НГ" е~"!'4 (п%>) ^п• (IX.2.16)
о
В результате всех вычислений придем к выражению л - 5>" (9-+ ¦"*" *") ¦
(IX.2.17)
§ 2. некоторый задачи Теорий дифракций 231
описывающему превращение плоской волны в сферическую расходящуюся. Этот
процесс изображен на рис. IX. 1. Штриховыми линиями отмечены поверхности
равной фазы, сплошными - равной амплитуды (по отношению к максимальной в
данном сечении).
Сопоставляя полученные решения (IX.2.14), (IX.2.17), можно заметить, что
степень дифракционного искажения
Рис. IX.1. Дифракционное превращение плоской волны в сферическую
расходящуюся.
воли зависит только от одной переменной - безразмерного расстояния No.
Поэтому удобно обозначить
