Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
^(") = {ХЛЛ2) в случае чисто гармонического возмущения на границе и ElN)
= е-^Чп [4- (nZl)2] (Х.1.13)
§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 255
для случайного сигнала; • (Х.1.13) следует (Х.1.11) при
т -"-0. В формулах (Х.1.12), (Х.1.13) zx = есо0ж1^2Е/с0, Е = ?(S) = Е^'К
Графики функций (Х.1.12) и (Х.1.13) для п = 1, 2, 3 изображены на рис.
Х.1 соответственно штриховыми и сплошными линиями. Видно, что поведение
гармоник случайного сигнала существенно отличается от того, что имеет
место при чисто гармоническом возмущении на границе среды. Как истощение
основной, так и нарастание высших гармоник в первом случае происходит
более быстрыми темпами.
Здесь уместно провести аналогию с нелинейной оптикой [117] и отметить,
что при малых расстояниях Zj (nz1 <( 1) генерация акустических гармоник
шумовым сигналом эффективнее, нежели детерминированным сигналом,точно во
столько же раз, как и при возбуждении световых гармоник квазимонохро-
матическим излучением в так называемом приближении заданного поля.
Другими словами, на малых расстояниях zx отно-
0,15
0,10
0,05
О
!,о гi
шение
*)
еLs>
(Х.1.14)
Рис. Х.1. Зависимость интенсивности первой (1),второй(2)и третьей (3)
гармоник в нелинейной среде от приведенного расстояния zx -= = еа0х =
У 2z при одина-
ковых интенсивностях исходных сигналов. Узкополосному шумовому сигналу
соответствуют сплошные кривые, гармоническому сигналу - штриховые кривые.
*) Это соотношение было установлено экспериментально в работе [139].
256
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
Теперь остановимся на анализе ширины спектральной линии гармоник шума.
Предположим, что форма линии исходного шумового сигнала лоренцева, т. е.
на границе нелинейной среды
Ъ (т) = ехр {- | т |/т0}; (Х.1.15)
т0 - время корреляции сигнала. В этом случае время корреляции тп п-й
гармоники подчиняется трансцендентному уравнению
In
Аналитический результат удается получить лишь при малых nz1<^ 1; в этом
случае имеем тп = т0/п. Таким образом, при nzi <( 1 ширина спектральной
линии гармоники Дсо" " 1/тп растет с увеличением п (см. также [117]). С
ростом z ширины линий гармоник увеличиваются, причем это уширение также
растет с увеличением п. Так, например, при п = 1 время корреляции
уменьшается с Ti - (zi - 0) - то Д° Ъ - xi (% = 1) " 0,97т0, при
п = 2 - с т2 = 0,5т0 до Тг ^ 0,41т0 и, наконец, при п - = 3 с т3 = О,33т0
до Тз ~ 0,21т0.
Подобным образом ведут себя и ширины линий гармоник в случае, когда
исходный сигнал имеет гауссову форму линии; здесь, однако, при пгг <( 1
время корреляции тп = т0 lYп•
Тенденция к "расплыванию" спектральных линий является важным эффектом,
который не может быть установлен в рамках приближения заданного поля. Он
является следствием сложных (в том числе и реактивных) взаимодействий
между полями основного излучения и высших гармоник и представляет собой -
в соответствии с законами статистической физики - первый шаг к
установлению состояния термодинамического равновесия.
Рассмотрим законы распределения огибающей шумовых гармоник. Согласно
формуле (Х.1.5) амплитуда Ап п-й гармоники равна
An = -^Jn [га*4(0)],
(Х.1.17)
§ 1. СЛУЧАЙНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 257
где А (0) в соответствии с (Х.1.7) имеет релеевский закон распределения
W(A) = А ехр{- A2/2j. (Х.1.18)
В общем случае произвольных ш получить аналитическое выражение для
распределения W (Ап) не удается. Для
Рис. Х.2. Функции распределения огибающей исходного сигнала (1), второй
(2) и третьей (3) гармоник: (I) - распределение Рслея, (2) -
экспоненциальное распределение.
значений nz <7 1 при п 2 получаем, что закон распределения W (Ап) сильно
отличается от релеевского (Х.1.18)
(о^.п!)^
(а .п\)&-п1'п 71
^ (ап) ~ -I------(п - 1)! е , (Х.1.19)
31
причем амплитуда а2 второй гармоники имеет эксионен-циальное
распределение: W (а2) = щ2 ехр {- аъ/а\].
В формуле (Х.1.19) ап = nzAJ2, а = nzAI2 = аъ ах = = nz]2. Графики
распределений W (ап) для входного
258
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
сигнала, второй и третьей гармоник представлены на рис. Х.2.
Из рис. Х.2 следует, что в области малых и больших значений амплитуд ап
(относительно среднего ап) плотность вероятности значений ап больше, чем
для возбуждающего сигнала. Вероятности превышения среднего значения ва" =
ап1ап раз, например, в исходном сигнале и второй гармонике равны
соответственно
Таким образом, флуктуации исходного сигнала в гармониках подчеркиваются;
подобная ситуация имеет место и при генерации оптических гармоник [117].
Обсудим теперь границы применимости формулы (Х.1.11) и вытекающих из нее
результатов. Строго говоря, одновременное использование динамического
уравнения для простых волн (Х.1.2) (описывающего волны только в области
до образования разрывов) и функции распределения (Х.1.7) нормального шума
приводит к противоречию. Дело в том, что в соответствии с релеев-ским
распределением (Х.1.18) амплитуда некоторых "периодов'", входящих в
состав полной реализации V (0, z = = 0), может принимать сколь угодно
