Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
спектрального распределения п статистики излучения на входе однозначно
определяет процесс эволюции спектра случайной волны. Для
детерминированных возмущений такая постановка вопроса некорректна,
поскольку между его
262
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
пространственно-временной формой и спектральным распределением нет
взаимно однозначного соответствия; спектр возмущения деформируется по-
разному в зависимости от фазовых соотношений между фурье-компонентами.
Это тривиальное, казалось бы, замечание необходимо иметь в виду потому,
что во многих оригинальных работах эти два типа задач не разделяются.
Для рассмотрения динамики изменения спектра произвольной ширины и формы
запишем решепие уравнения (Х.1.2) в общем виде
V (у, X) = ? [у + vx'j . (Х.2.1)
Здесь ? (р) - произвольная функция, заданная на входе среды при х = 0.
В соответствии со свойствами 6-функции можно написать
со
v(y,x) = -^- ^ v (у , х) eia<y-v')d(i>dy'. (Х.2.2)
- со
Подставим (Х.2.1) в (Х.2.2), при помощи замены
у' = т]--------- х?(ц)я интегрирования по частям v (у, х)
°1
удается представить как явную функцию от ? (ц):
оо
"(У>Х) = ST S Ш X
-со
X ехр |- ico Т] ^х1(ц)-у l-cHp (Х.2.3)
I L с0 J >
Для расчета корреляционной функции
в (yv У2\ я) = V (yv х) V (у2, х) (Х.2.4)
на основе решения (Х.2.3) нужно воспользоваться четырехмерной функцией
распределения НД [?, (¦%), ? (ц2), I Oil)* t (т]2)]! эт0 связано с
чрезвычайно громоздкими вычислениями. Вместе с тем структура выражения
(Х.2.3) позволяет ввести оператор
d? , . d d
§ 2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ СПЕКТРОВ
263
и с его помощью проделать операцию усреднения, пользуясь только двумерным
распределением W2 [? (т)*),! (%)]. Эта значительно облегченная схема
расчета приводит к следующему выражению для корреляционной функции:
4 "
В(Уи У"х) = g х
-оо Ш1 2
оо
X g L (соь щ; со2, ц2) <^ехр гсох ~ xl (тц) -
icoa - xl (т]2)
со
12С^Г|1С^Г|2. (Х.2.6)
Таким образом, операция усреднения сводится к нахождению двумерной
характеристической функции
С (сох,- со2) = gexp j-^-ж [сохё (%) - со2? (%)] j g . (Х.2.7)
Пусть I (t) есть стационарный гауссов случайный процесс со средним
значением I = 0, тогда
С (сох, - со2) = exp j- -^- [col + "2 - 2сохсоаR (щ - ц2)]|,
(Х.2.8)
где z = ах\ о2 - интенсивность и R (ц) - коэффициент
°а
корреляции процесса I {у).
Для корреляционной функции (Х.2.4) в произвольном сечении нелинейной
среды таким образом получается выражение
оо . со
с/ ч <32 Г С {cPR
В (т, х) - 2я ^ со2 | d г +
- ОО -оо
+ (zco)2 R (ч)) e~ia1ld(is dr\. (Х.2.9)
Производя замену Q (ц) = exp [(zco)2 R (ц)] и интегрируя, можно привести
(Х.2.9) к виду
оо
?(I,x) = -3'S д(Л)ф[^л&=г]<г11, (Х.2.10)
264
ГЛ. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
где Ф (т|) - функция ошибок. Согласно теореме Винера -Хинчина для
спектральной плотности процесса из (Х.2.10) получим
со
S (со, z) =------- е-(г")2 ^ R (ц) е(гм)2Я(г,) sjn (0Т| ^ (Х.2.11)
о
или, в другой форме,
( )2 °°
?(С0,2) = - -^-4-ГГ § [e'Zw>2R^'> 1] соз сот] dr). (Х.2.12)
1 о
Выражения (Х.2.9) - (Х.2.12) позволяют проследить за искажением спектра
начального возмущения с произвольной шириной и видом спектрального
распределения. Удобство пользования (Х.2.11) или (Х.2.12) зависит от
конкретного выражения для функции R (ц). Разлагая экспоненту под
интегралом (Х.2.12) в ряд, получим
со / оо
5 (со, Z) = -1^- 2 5 Д" (ц) е-ь** dp. (Х.2.13)
Отсюда следует, что по мере распространения исходной волны (ей
соответствует п = 1) ее спектральная плотность уменьшается. Спектральная
же плотность возбуясдаемых гармоник с ростом z сначала нарастает. Для
широкого исходного спектра спектры всех гармоник перекрываются, и
характер его трансформации в целом существенно зависит от формы исходного
распределения.
Если, например, спектр S (со, 0) сосредоточен вблизи нулевой частоты со =
0, то в нелинейной среде он деформируется таким образом, что спектральная
плотность на низких частотах уменьшается, а на высоких возрастает.
Другими словами, идет процесс перекачки энергии из интенсивных
длинноволновых компонент в коротковолновые. Если же максимум спектральной
плотности приходится на частоту со = со0 Ф- 0, то происходит как процесс
преобразования в более коротковолновый (относительно к0 = со0/с) спектр,
так и параметрическая подкачка его длинноволновой части.
§ 2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ СПЕКТРОВ
265
Сказанное иллюстрируется кривыми рис. Х.4, построенными *) для R (р) = (1
- 2y2rj2) exp (- у2р2).
Задачи описания трансформации широких исходных спектров в литературе
получили название проблемы акустической турбулентности (см. [123, 124]).
Особый интерес здесь представляет нахождение равновесной формы
Рис. Х.4. Изменение формы широкополосного исходного спектра
- У У л / <" \г \ /со \ 21
(кривая 1 )S (со, 0) = S (со, 0) -=(^т) ехр |) j в не-
линейной среде для различных значений приведенного расстояния yz: кривая
2-1/6, 3-1/2Уз, 4-1/УЗ.
спектрального распределения или универсального закона спадания S (со, z)
