Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Удерживая во всех трех выражениях (Х.5.7) - (Х.5.9) члены при sin со0т]
или cos со0т], йосле ряда преобразований придем к следующему результату:
(Х.5.И)
?№ S) (COj х) =
sin (to - too) Л - dr]
Г Л Щл *
со - СОо
(Х.5.12)
Заметим, что структура интегралов в выражении для S<-N) и S(N'S~>
одинакова. Этот факт значительно облегчает физический анализ полученных
формул.
§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ 277
Наконец, разложение (Х.5.9) в ряд содержит член, описывающий динамику
спектральной линии сигнала:
Легко видеть, что в результате нелинейного взаимодействия с шумовой
компонентой и генерации собственных гармоник величина спектральной
плотности сигнала уменьшается, однако форма спектра сохраняет свой дель-
таобразный вид.
В качестве иллюстрации нелинейных процессов, описываемых полученными
формулами, рассмотрим конкретный пример.
Пусть корреляционная функция шума на входе равна
(в точности такая же R (ц) рассматривалась в § 2). Вычисляя для этого
случая интегралы (Х.5.И), (Х.5.12), придем к результатам, изображенным на
рис. Х.6 в безразмерных координатах Q = (r)/2у, g =YnySla2. При построении
графиков полагалось ?20 = со0/2у = 5, А = = а/2, а переменная X = ес^аух
принимала последовательно значения Х0 = 0, Хг = 1/48, Х2 = 1/36, Х3 =
На расстоянии от Х0 до Х5 исходный спектр шумового возмущения
претерпевает относительно слабые искажения, обнаруживающие тенденцию (см.
§ 2) к перераспределению энергии как в область более низких, так и в
область более высоких частот.
Особый интерес представляет рассмотрение динамики новой области спектра,
рождающейся в окрестности ?2 = ?20. Ширина этого "пьедестала" на малых
расстояниях равна примерно удвоенной ширине спектра шумового возмущения;
каждое из "крыльев" по обе стороны ?20 повторяет исходную форму шумового
спектра. Принципиально важно отметить несимметричную (относительно ?2 =
?20)
(со, х) = -у е
2/1 j -f Л(?>ох
6 (со - со0).
(Х.5.13)
R (ц) = (1 - 2yhf) е
(Х.5.14)
= 1/24, Х4 = 1/12, Х5 = 1/6.
278 гл. X. О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ
форму пьедестала. Его высокочастотное крыло имеет большую амплитуду и
быстрее растет в результате нелинейной подкачки энергии, что является
проявлением тенденции Мэнли - Роу. Постепенно впадина между двумя
крыльями исчезает при X tsz Xs, и оба крыла пьедестала сливаются в единую
широкую линию, энергетический
Рис. Х.6. Процесс взаимодействия шумового спектра S^ со спектральной
линией
5(S)
регулярного сигнала. Происходит как деформация исходных спектральных
распределений S^NK так и
рождение новых участков спектра Л,(л''ь>.
центр которой смещен в область частот П Q0. В дальнейшем эта линия еще
больше увеличивается по амплитуде до " Х4, а затем наступает этап
растекания по спектру (см. X = Х5), причем опять-таки наибольшая доля
энергии перекачивается в высшие частоты.
Движение энергетического центра вверх по спектру в процессе
взаимодействия с низкочастотным шумом аналогично известному эффекту
ускорения Ферми. Такая
§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА С ШУМОМ
279
аналогия очевидна в случае, если спектральная линия сигнала имеет сколь
угодно малую, но конечную ширину. При этом линия рано или поздно сольется
с образовавшимся у ее подножия пьедесталом, и говорить о положении линии
будет уже невозможно. На этом этапе нужно следить за движением
энергетического центра всего комплекса как целого.
Полная картина, однако, оказывается более сложной. Учет высших членов в
разложениях формул (Х.5.7) - (Х.5.9) дает новые спектральные комплексы в
окрестности частот 7гсо0 (п = 1, 2, 3, . . .).
Нужно подчеркнуть, что при рассмотрении нелинейной динамики суперпозиции
регулярной и шумовой волн с целью упрощения специально все время
говорилось о таком расположении спектральной линии сигнала, когда она не
перекрывается со спектром случайного возмущения. Разумеется, полученные
решения позволяют рассмотреть и общий случай. Если исходные спектральные
распределения сигнала и шума перекрываются, то динамика процесса
оказывается более сложной и разбиение S (о, х) на составляющие S(N\ S(N>
s>, S<-s> при x Ф 0 становится формальной процедурой.
Именно последний случай часто встречается на практике. Так, спектры
кавитации [81, реактивных двигателей и некоторых других источников
интенсивного шума состоят из дискретных линий, расположенных на фоне
широкополосных шумов. Поскольку в соответствии с изложенной выше теорией
широкий спектр воспроизводится у подножия каждой дискретной составляющей,
нетрудно сделать вывод о быстром нарастании сплошной части спектра по
мере распространения звука в среде. Кроме того, по измерениям
"усиленного" широкополосного шума можно судить о структуре исходного
спектра.
В заключение обсудим вопрос о нелинейном затухании звука, происходящем
из-за его взаимодействия с шумовыми волнами. Уменьшение интенсивности
звукового сигнала описывается формулой (Х.5.13). Множитель в квадратных
скобках ответствен за истощение сигнала в результате генерации его
