Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
постоянный вектор. (Можно получить тот же результат и в том случае, когда
данное вращение следует за трансляцией х->x + Il взяв = R"1^.) Замечание.
Слова "вращение" и "движение" могут ввести в заблуждение, поскольку здесь
ничто не зависит от времени t. Вращение является просто фиксированным
изменением ориентации, а трансляция является лишь фиксированным
смещением.
Связи между некоторыми группами, представляющими интерес для физики,
выглядят так:
SO (2) >SO (3) ---
\ \ \
М2 -г-" М3 -------> 9t,
где стрелка ведет от подгруппы к включающей ее группе, 3*р обозначает
собственную группу Пуанкаре (состоящую из комбинаций собственных
преобразований Лоренца со смещениями в пространстве и времени). Группы,
включающие пространственную инверсию и обращение времени, также
представляют интерес, но они сильно усложнили бы приведенную диаграмму.
Группу М2 мы подробнее рассмотрим далее в данной главе.
Элемент группы М2 есть отображение g = gz, е плоскости х, у на себя,
задаваемое следующим образом:
а- (х\ /*'\_/xcos0-г/sin0-Ы\
* V у) ^ V у')- \х sin 0 + у cos 9 + т) > (21¦8Л)
Замечание. В теории групп вообще и в частности при определении
"представления" под "линейным преобразованием" понимают
Я Часто говорят: параллельный перенос или сдвиг на вектор -Прим.
перев.
90
Гл. 21. Представления групп 11
однородное преобразование; поэтому (21.8.1) будем называть просто
"отображением". Нетрудно проверить, что трехмерное точное представление
группы Мг задается соответствием
/ cos 0 - sin 0 g \ gi->( sin0 cos0 г] I. (21.8.2)
V 0 0 1/
Упражнение
Проверьте, что в этом случае композиции g2gi двух отображений вида
(21.8.1) ставится в соответствие произведение соответствующих матриц вида
(21.8.2).
21.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ Ms
Чтобы найти другие представления, допустим, что Х°° обозначает
пространство всех бесконечно дифференцируемых функций f(x, у),
определенных для всех х и у. Очевидно, плоскость является однородным
пространством для Мг. Представление группы Мг на Х°° получается путем
преобразования каждой функции/(х. у) в функцию
(Р (g)J) (*. y) - f([x-?J cos 0 + [у- nj sin 0,
- [x-?]sin 0 + [y-v|] cos 0) (21.9.1)
согласно правилу (20.6.1). Три оператора Lu Lv L3 ("инфините-зимальные
операторы") определяются следующим образом:
{LJ)(x, y) = d(p(g)f)(x, у)/д% |5_ч_в-о,
(LJ)(x, y) = d(p(g)f)(x, у)/дT]|l=ti_0=,f, (21.9.2)
(L3f)(x, y) = d(p(g)f)(x, у)/дв |=_ч_в-о-
Из (21.9.1) следует, что
Lx = - д/дх, L3 =- д/ду, L3 = yd/dx-хд/ду. (21.9.3)
Если г и ф - полярные координаты в плоскости х, у, a L+ и L~ определяются
соответственно как Lt+iL3 и Lj-iL2, то мы обнаруживаем, что
L3 = - d/dф, Ь±=е±'ч>(д/дг±(Цг)д1дср), " _
г +Г - - Г + - vа (21.9.4)
21.10. НЕКОТОРЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Представление (21.9.1) в высокой степени приводимо, и мы постараемся
найти инвариантное подпространство Xt пространства Xю, которое было бы
столь мало в некотором смысле, сколь это возможно. Подпространство X,
должно преобразовываться само в себя при действии каждого из операторов
Llt Lit L3. При помощи ряда
21.10. Некоторые неприводимые представления
91
Фурье относительно ср любую функцию f?X°° можно разложить по функциям
y) = i~melmvgm(r), (21.10.1)
где gm-некоторая функция на (0, оо) из класса С°°. Причина, по которой
взят множитель i~m, скоро будет ясна. При действии оператора L3 любая
функция фт преобразуется в кратную самой себе функцию; мы хотим начать с
одной из таких функций фт и выяснить, какой же наименьший набор
дополнительных функций следует взять для получения инвариантного
подпространства.
Из (21.9.4) видно, что L+tym имеет вид е'(т+1> ф h (г); следовательно,
L~L+tym имеет вид eim<fg{r). Для получения наименьшего возможного
инвариантного подпространства Хх теперь допускается, что g(r) равна
gm(r), умноженной на постоянную, скажем на -о&, и мы исследуем, может ли
в действительности gm быть выбрана так, что это допущение будет
справедливым. Итак, мы хотим выбрать gm (г) так, чтобы
?+фт = гатфт+х, ?-фт+1 = 1атфт. (21.10.2)
Таким образом порождается последовательность функций {фт}"" в
предположении, что ни одна из постоянных "т не обращается в нуль; но ни
одна из них и не может обратиться в нуль (разве только все вместе),
поскольку L+ и L~ коммутируют, из чего следует, что а?т = а2т_1-, поэтому
все эти постоянные можно взять равными. Тогда из (21.9.4) видно, что
= (21.10.3)
для всех т. Отсюда вытекает, что gm(r) будет пропорциональна функции
Бесселя Jт (аг)\ функции Бесселя будут рассмотрены в следующем параграфе.
Заключение. Хх является подпространством пространства Х°°, состоящим из
решений уравнения V2^ + a2if = 0 (которые не имеют особенностей);
обозначим такое подпространство через Ха. Таким образом любое отличное от
нуля значение а приводит к неприводимому представлению группы Л1а. При
преобразовании х рх для вещественного р V2 переходит в p~2V2; поэтому без
ограничения общности мы можем допустить, что |а|=1. Более того, а и -а
