Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
/(0, ф) на сфере х2у2г2 - \. (Фактически ф выражается через / при помощи
интеграла Пуассона.) Функция ф аналитична в шаре и может быть
представлена в виде степенного ряда по х, у, г. Члены этого разложения,
соответствующие данной степени //являются гармоническими многочленами
степени / и поэтому могут быть выражены через функции rlYf{Q, ф); таким
образом,
СО /
ф(х, у, г)= 2 2 AfrlYf (0, ф).
/г=0 т = - I
Можно показать, что для непрерывной граничной функции f решение задачи
Дирихле ф при г 1 сходится к f равномерно по углам, т. е. сходится в L2;
отсюда
/(0, Ф) = 2 2 ЛТ-КТ* (0. Ф) (20.14.2)
I т
в смысле сходимости в среднем. Поскольку непрерывные функции плотны в
L2(S), ясно, что тессеральные гармоники образуют полную ортонормированную
систему функций на сфере. Кроме того, ясно, что любое распределение /(0,
ф) в L2(S) можно представить в виде (20.14.2), где коэффициентами ряда
являются величины
2л я
АТ = И WW ф) / (0, ф) sin 0^0^ф, о о
а ряд сходится к /(0, ф) в среднем.
Теперь мы можем заполнить тот пробел, который возник при рассмотрении
представлений группы SO(3) в § 20.9. Вспомним, что Х" определялось как
пространство всех функций класса С" на сфере, a X2l+1 было
подпространством, являющимся линейной
76
Гл. 20. Представления групп 1
оболочкой функций
Yf (m - l, I-1........-I).
Было доказано, что Х2,+1 инвариантно (т. е. преобразуется само в себя)
относительно инфинитезимальных операторов Lt, La, L3 представления р, и
теперь можно доказать, что X2l+1 инвариантно также относительно
преобразований p(g), SO (3): в самом деле, пусть р(g)Yf - функция от 0,
ф, полученная путем перенесения значений Yf (0, ф) при движении по сфере
согласно вращению g\ следовательно, функция rlp(g)Yf является также
однородным гармоническим многочленом степени I по х, у, г и поэтому может
быть выражена в виде линейной комбинации многочленов rlYf (0, ф), m' = l,
I-1, ...,-I. Отсюда следует инвариантность подпространства X2l+l.
Полнота системы тессеральных гармоник показывает, что пространство
L2(S2), где S2-единичная сфера в R3, есть прямая сумма (относительно
/Лнормы) подпространств Х21+1(1 = 0, 1,2, ...).
Глава 21
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП II.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ДВИЖЕНИЯ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Унитарное представление; приведение; разложение; прямая сумма; полное
приведение; лемма Шура; компактные и некомпактные группы; инвариантное
интегрирование; мера Хаара; правая и левая трансляции; инвариантное
интегрирование в SU (2); площадь л-мерной сферы; регулярные
представления; инвариантное интегрирование в SO (3); теоремы полноты
Петера - Вейля и Виленкина; волновые функции симметричного волчка; группы
движений; функции Бесселя; рекуррентные соотношения, дифференциальные
уравнения и порождающие уравнения; разложение плоской волны; характеры;
полнота представлений группы SO (3).
Предварительные сведения', гл. 18-20.
Неприводимые представления группы 50(2), рассмотренные в § 20.5, являются
одномерными; неприводимые представления группы 50(3), которые были
рассмотрены в § 20.9, многомерны, причем их размерность равна 2/+1, где
1-0, 1,2,...; неприводимые представления группы движений, которые
рассмотрены в этой главе, бесконечномерны. Будет показано, что такое
различие отражает различные свойства групп.
21.1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Первым шагом при классификации представлений является выяснение
следующего вопроса: какие два представления можно считать эквивалентными,
так чтобы нужно было описывать лишь одно из них? Два представления р (g)
и р' (g) на (конечномерном) пространстве X будут эквивалентны, если
первое из них может быть преобразовано во второе путем подходящей замены
координат в пространстве X, т. е. если существует такая матрица А, что
(g)A Для всех g. В более общей формулировке допустим, что р и р' -
представления на разных пространствах X и X' одинаковой размерности и
существует такая матрица А, что соответствие х->-х'=/4х есть взаимно
однозначное отображение X на X', ар (g) и А~гр' (g) А - одинаковые
матрицы для любого элемента g; тогда р и р' являются эквивалентными
представлениями.
Как было указано в § 20.4, в бесконечномерном случае p(g) для каждого g
есть ограниченное линейное преобразование в банаховом или гильбертовом
пространстве. Допустим, что р и р' -представления в пространствах X и X'
одного и того же типа, ска-
78
Гл. 21. Представления групп II
жем, оба этих пространства являются сепарабельными гильбертовыми
пространствами; допустим далее, что существует ограниченное линейное
преобразование А из X на X' с обратным Л-1 и что р (g) и А -1р' (g)A -
один и тот же оператор для любого g; тогда р и р' - эквивалентные
представления.
Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно, а
потому разбивает совокупность всех представлений данной группы на классы
эквивалентности. Естественно попытаться выбрать из каждого класса
эквивалентности представление с наиболее подходящими свойствами. В
