Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 38

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 162 >> Следующая

21.13. ХАРАКТЕРЫ
Понятие характера %(g) представления играет в теории представлений
чрезвычайно важную роль. Для компактных групп это ключ к установлению
полноты системы неприводимых представлений, а значит, к решению вопроса о
том, все ли представления найдены. Если р-представление на конечномерном
пространстве Хп, так что р (g) являются матрицами с элементами p/k (g),
то
П
X(g) = tr Р (g) - 2 P/f (g)- Следовательно, x есть скалярнозначная
/=|
функция на группе G. В случае компактной группы G характеры X1 и х2 Двух
неэквивалентных неприводимых представлений ортогональны относительно
скалярного произведения (21.5.5):
S %1(g)%2(g)dg = 0, (21.13.1)
G
а для эквивалентных представлений xA(g) = X2(g)* Кроме того,
Slx(g)|arfg=l (21.13.2)
G
21.13. Характеры
95
для любого неприводимого представления в том случае, когда мера Хаара
нормирована так, что мера (объем) всей группы равна 1.
Характер %(g) зависит только от класса сопряженности группового элемента
g, т. е. y,(g)=%(hgh~l) для всех g и всех h. Совокупность всех характеров
неприводимых представлений компактной группы образует полную систему
функций для разложения функций f(g), зависящих только от класса
сопряженности элементов g.
В группе вращений 50(3) все вращения на заданный угол со независимо от
направления оси вращения принадлежат одному и тому же классу сопряженных
элементов; отсюда следует, что характеры являются функциями лишь угла со.
Классическое доказательство полноты системы неприводимых представлений
р*(/= =0, 1, 2, . . .), о которой говорилось в конце § 20.9, состоит в
демонстрации того, что соответствующие характеры xl(g) образуют полную
систему функций для разложения функций угла со (см. книгу Вигнера
[1931]). Тогда, поскольку не существует ненулевой функции от со, которая
была бы ортогональна всем %l(g), не существует и неприводимого
представления, неэквивалентного всем р*.
Упражнения
1. Покажите, что если конечномерные представления р1 и р2 эквивалентны
[т. е. если они одинаковой размерности и существует такая матрица А Ф О,
что Лр1 (g) = р2 (g) А для всех g], то X1 (8) = X2 (8)-
2. Покажите, что два вращения gi и ga на заданный угол со, но вокруг
различных осей являются сопряженными, т. е. что существует такое вращение
h, что gi=hg2h~1.
3. Покажите, что характеры неприводимых представлений р* группы SO (3)
имеют вид х( =sin (/+1/2) a/sin (a/2) (1 = 0, 1, ...) и что они
удовлетворяют соотношению ортогональности (21.13.1), где dg = [(1- cos
а)/(4л2а2)] сРО в соответствии с упражнением 7 из § 21.5. Указание.
Достаточно рассмотреть вращение вокруг оси г, для которого матрицы р1 (g)
диагональны; см. (20.12.2) и предшествующее равенство.
Для того чтобы доказать полноту системы характеров %1 для 50(3), нам
нужно показать, что если ф(а)-любая непрерывная функция, причем (х*, ф) =
0 для всех /, то ф(а) = 0. Так как 1-cos a = 2 (sin (a/2))2 и d30 =
4jia2da, то равносильно показать, что если
Д
2 J sin (I + 1/2) a sin (a/2) ф (a) da = 0 о
для всех /, то ф (a) 0. Введя обозначения a/2 = t и sin
(a/2) ф(а) =
= x(0. получим эквивалентное утверждение, которое нужно доказать: если
л/2
5 X (0 sin (21 + 1 )tdt =0 о
96
Гл. 21. Представления групп II
для всех /, то х(0=0- Но это и в самом деле так, ибо если %{t)
распространить на интервал -я^^я, потребовав, чтобы она была нечетной
функцией относительно 1=0 и четной относительно t= =±я/2, то функции
sin(2/+l) t представляют систему функций, достаточную для построения ряда
Фурье функции х (0- Поскольку характеры %1 образуют полную систему
функций, представления рг (1=0, 1, 2, . . .) исчерпывают все неприводимые
представления группы 50(3).
Таким образом, получен ответ на вопрос, который возник в § 20.2, о
вращениях декартовых осей координат в трехмерном пространстве: все
возможные нерелятивистские законы преобразования физических величин
обеспечиваются представлениями рг группы 50(3).
Глава 22
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Лучевое пространство и лучевые представления в квантовой механике;
расширения локальных представлений; эффект двусвязнести группы SO (3) и
односвязности группы SU (2); двузначные представления; спиноры.
Предварительные сведения: гл. 18-21 и основы квантовой механики.
Цель данной главы - пролить свет на один частный вопрос при использовании
теории представлений групп в квантовой механике, а именно на вопрос о
появлении двузначных, или спиновых, представлений группы вращений и
группы Лоренца.
22.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Мы уже видели, что в классической физике различные системы величин при
вращении осей координат преобразуются так, что дают представления группы
вращений. (То же самое применимо в классической физике и к другим группам
симметрии, таким, как группы движений, группы симметрии кристаллов,
группы Лоренца и т. п.)
С другой стороны, в квантовой механике некоторые величины при вращении
осей координат преобразуются подобно компонентам спиноров и тем самым
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed