Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
что действительно существуют представления группы SU (2), которые дают
двузначные представления группы S0(3). Само собой разумеется, что
единичное представление SU (2) таково, но существуют и многие другие.
Несколько следующих параграфов посвящено неприводимым представлениям
группы SU (2). Все они конечномерны в силу компактности SU (2), гогда как
группы SL(2, С) и Зр, которые не являются компактными, имеют также и
бесконечномерные неприводимые представления, по поводу которых читатель
отсылается к книгам Виленкина [1965], Наймарка [1976] и Сугиуры [1975].
Оказывается, что некоторые конечномерные представления группы SL(2, С)
остаются неприводимыми, когда сужаются до SU (2); они ведут к обычным и
спиновым представлениям группы Лоренца и группы вращений.
Элемент группы SL(2, С) есть унимодулярное преобразование пространства С2
на себя, задаваемое в виде
(22.7.1)
104
Г л. 22. П редставления групп и квантовая механика
где аб-ур*=1. Матрица обратного преобразования имеет вид
5 -р
- у а
Далее, действие группы на Са эффективно (любое преобразование и ф е
перемещает хотя бы одну точку в С2) и транзитивно (для двух заданных
произвольных точек х и у всегда найдется такой элемент и группы, что у =
"х), т. е. С2 является однородным пространством для SL(2, С). Поэтому
допустим, что Х°°-пространство всех целых аналитических функций / (xt,
х2) двух комплексных переменных. Тогда, согласно (20.6.1),
бесконечномерное представление группы SL(2, С) получается путем
установления соответствия между элементом и и преобразованием р (и) в Х°°
при помощи равенства
(p(u)f)(xu xs) = f (бх,- pjcg, - ухг+ахг). (22.7.2)
Рассмотрим теперь некоторые элементы подгруппы SU (2). Пусть со,, со2,
со3-внутренние координаты в SO (3), определенные в § 19.6, go>" со,, м,,-
соответствующая матрица вращения [элемент SO(3)], а ± uBl, и2. и,-
элементы SU (2), которые отображаются на ?<"" <>¦" м, при помощи
гомоморфизма, описанного в § 19.7. В частности, можно принять
cos со/2 -i sin со/2 \
- i sin со/2 cos со/2 )'
(cos со/2 - sin со/2 \
U°'wC_Vsinco/2 cos со/2/' (22.7.3)
/е-ш/2 0 \
ио. о. *. - gifo/a/*
потому что непосредственные вычисления с использованием формул § 19.7
показывают, что, согласно (19.6.1), соответствующие преобразования от х,
у, г к х', у', г' задаются матрицами
/0 0 0\
Se>, о, о= ( о о (r)|"
\0 со 0 J
/ 0 0 со\
go, и, о = ( 0 0 0 , (22.7.4)
\-со 0 0/
/0 -со 0\ go, о, ш = ( со 00.
\0 0 0/
22.7. Представления групп SU(2) uSL(2, С )
105
Инфинитезимальные элементы группы SU (2) получаются следующим образом:
Соответствующие дифференциальные операторы представления р суть
Инфинитезимальные элементы и операторы удовлетворяют соотношениям
коммутации
Отметим попутно, что матрицы в (22.7.5) можно рассматривать также как
инфинитезимальные элементы большей (охватывающей) группы SL(2, С) по
следующей причине: прежде всего, легко проверить, что матрицы (22.7.3)
выражаются через матрицы Tit а именно
Методы, изложенные в гл. 25 (экспоненциальное отображение), показывают,
что в общем случае
Из (22.7.5) видно, что правая часть последнего выражения имеет вид ехр
((Л), где А - общая эрмитова матрица размера 2x2 с нулевым следом. Если
теперь допустить, что (щ, (ог, ю3 принимают комплексные значения, то
правая часть (22.7.8) имеет вид ехр В, где В - совершенно общая матрица
размера 2x2 с нулевым следом, но тогда ехр В есть общая матрица размера
2x2 с детерминантом, равным 1, т. е. общий элемент группы SL(2, С).
0 - 1 i 0
)•
(22.7,5)
[7" Tf] = Tk, [LitL,] = Lk (ijk= 123,23 1,3 1 2). (22.7.7)
ы(0, о = ехр (со/ ,),
"о. =ехр(ш7 ыи, и>, =ехр (юГ3).
хр (Со7\),
Ыш" со*, 0),. = ехр (03,7f + сог72 + со"73).
(22.7.8)
106
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
22.8. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SU(2)
Для каждого значения 0, 1/2, 1, 3/3, 2, ... индекса / подпространство
X2/+l пространства Х°° определяется как пространство всех однородных
многочленов степени 21 от х1 и л;2. Из (22.7.2) следует, что каждый
оператор р (и) преобразует любой однородный многочлен в другой однородный
многочлен той же степени; следовательно, каждое подпространство Х2/+1
инвариантно относительно р(") не только для всех и из SU (2), но и для
всех и из SL (2, С).
Далее будет показано, что представление группы SU (2), заданное в
(22.7.2), неприводимо на каждом подпространстве Х2/+1 (такое
представление обозначим через Dl)\ следовательно, представление группы SL
(2, С) на Х2*+1 тем более неприводимо. Будет показано, что любое
подпространство в Хп+1 (отличное от подпространства, состоящего лишь из
одного нулевого вектора), которое инвариантно относительно SU (2),
совпадает со всем пространством Х2/+1. Это делается при помощи уже
знакомого нам метода, использующего операторы поднятия и опускания: любое
такое подпространство инвариантно относительно операторов Lu Ljj, L3 из
(22.7.6); а значит, и относительно операторов + iL3.
Одночлены
хг)=*х{~тх'а+т (ш - /, - /+1, ..., /) (22.8.1)
