Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 47

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 162 >> Следующая

х4, х2, ха. Теперь нужно определить для каждой точки четвертую координату
х4 так, чтобы х4 на поверхности изменялась гладко, а в окрестности Q
принимало одно значение (скажем, 0) на стенке бутылки и другое значение
(скажем, 1) - на ее
23. J. Примеры многообразий
1!7
горлышке. В этом случае на поверхности уже не найдется двух разных точек
с одинаковыми координатами хи хг, xs, х4.
Многие двумерные многообразия можно получить при помощи метода
отождествления (склеивания) краев. Лист Мёбиуса получается из
прямоугольника ABCD (рис. 23.2) с помощью склеивания (отождествления)
каждой точки стороны А В (выбирая их по порядку от Л до В) с
соответствующими точками стороны CD так, чтобы А отождествлялась с С, а В
- с D. Две отождествленные точки рассматриваются как одна точка
многообразия, и все выглядит в точности так, как если бы прямоугольник
был узкой полосой бумаги, которая изогнута в виде окружности, а ее края
склеены друг с другом, причем перед склеиванием один из концов был
повернут на полуоборот.
Если в последнем примере аналогичным образом склеить так же и края AD и
СВ, то в результате получится бутылка Клейна х). (Для этого потребовалось
бы растягивать бумагу, не говоря уж о трудностях с самопересечением.)
В § 19.5 были рассмотрены многообразия групп. Многообразие группы 50(3)
было представлено в виде определенной трехмерной алгебраической
поверхности в девятимерном пространстве. Некоторая окрестность каждой
точки этой поверхности гомеоморфна некоторой области Е3, однако в целом
поверхность не гомеоморфна никакой области в ?3; в § 23.7 будет показано,
что эта поверхность имеет такие свойства связности, какими область в Е3
обладать не может.
Многообразие группы SO (3) можно рассматривать также и как результат
трехмерной операции склеивания, использованной выше для получения листа
Мёбиуса. Если 0X, 0 02-внутрен-
ние координаты, введенные в § 19.6, то каждая точка шара || в |] <! л
представляет единственный элемент группы SO (3), и обратно, за
исключением того, что любые диаметрально противоположные точки на
поверхности, 0 и -0, ||0|| = я, представляют один и тот же элемент группы
SO (3) и поэтому должны отождествляться. Это отождествление нельзя
осуществить (по аналогии с листом Мёбиуса) путем деформации сферы в трех-
*) Точнее говоря, дело обстоит так. Склеивание сторон прямоугольника дает
следующие простейшие многообразия: если склеить только вертикально (или
только горизонтально) противоположные точки, то получится цилиндр; если
склеить диаметрально противоположные (относительно центра прямоугольника)
точки двух сторон, то получится лист Мёбиуса; если склеить диаметрально
противоположные точки сторон АВ и CD и горизонтально противоположные
точки AD и ВС, то получится бутылка Клейна; если склеить диаметрально
противоположные точки всех сторон, то получится проективная плоскость
RP2; если склеить вертикально противоположные и горизонтально
противоположные точки, то получится тор, и, наконец, если склеить
вертикальные и горизонтально противоположные точки все вместе в одну
точку, то получится сфера S2.- Прим. перее.
118
Г л 23. Элементарная теория многообразий
мерном пространстве и склеивания поверхностей, однако это склеивание
можно очевидным образом выполнить при помощи подходящей деформации сферы
в девятимерном пространстве.
Согласно упражнению 1 из §20.6, многообразие группы SU (2) можно
реализовать в виде трехмерной сферы, т. е. единичной сферы в Е4. Это
многообразие односвязно, однако также не гомеоморфно никакой области в
Е3.
23.2. КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ ИЛИ КАРТЫ.
СОГЛАСОВАННОСТЬ. ГЛАДКОСТЬ
Пусть М0-некоторое пространство, т. е. множество объектов, называемых
точками. (М0 может быть группой или еще чем-либо подобным, однако пока не
предполагается, что оно обладает какой-либо топологической структурой;
см. замечание в § 23.4.) Введение л-мерной координатной карты в Ж0
означает присвоение каждой точке Р определенного подмножества U
многообра-
del
зия м0 п вещественных координат \xL, ..., хп} = х таким образом, что
соответствие Р -> х является взаимно однозначным отображением <р
множества U на связное открытое подмножество N координатного пространства
R"; в этом случае пишут х = <р (Р), а тройку {U, <р, N) называют
координатной картой на М0. Такое обозначение карты удобно, хотя и
избыточно, поскольку U и ф определяют N (см. замечание в § 23.4). Вектор
х = ф(Р) иногда называют координатой точки Р.
Если, например, 0 и ср-сферические координаты на сфере (в = х1, ф=х2), то
указанное отображение переводит определенные точки сферы в точки
открытого прямоугольника (0 < 0 < л, -л < ф < л) на (0, ф)-плоскости R2.
Чтобы сделать это отображение взаимно однозначным, нужно отбросить
северный и южный полюсы (0 = 0 и 0=л соответственно), а также
международную линию смены дат ф = ±л. Чтобы описать всю сферу, можно было
бы использовать метод склеивания, т. е. расширить это отображение на
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed