Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
видах при использовании уравнений Коши - Римана, а именно
/' (г) = д (и 4- iv)/dx - -id (и + iv)/dy = дг(и + iv),
где оператор dz определяется следующим образом:
д^Ч^д/дх-Ю/ду). (22.10.1)
Оператор д- определяется аналогично:
="¦= V2 {д/дх + id/dy); (22.10.2)
следует отметить, что<%-/(г) = 0 для аналитической функции / (г) в силу
уравнений Коши-Римана. С другой стороны, если / (г) - многочлен (или
сходящийся степенной ряд) от г, то d2f(z) - 0. Кроме того, операторы
(22.10.1) и (22.10.2) являются линейными дифференциальными операторами;
следовательно, справедливо обычное правило дифференцирования
произведения. Поэтому если /-многочлен (или сходящийся степенной ряд) как
от г, так и от z [в этом случае обычно пишут /(г, г), чтобы указать, что
эта^функция может быть неаналитичной либо по г, либо по г], то г можно
полагать постоянной при вычислении d2 и г полагать постоянной при
вычислении d2. Иначе говоря, г и г при дифференцировании можно
рассматривать как независимые переменные.
22.11. Конечномерные представления группы SL(2, С)
109
22.11. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, С)
Метод однородных многочленов, использованный в§ 22.8 для группы SU (2),
можно применить и к группе SL(2, С), но в таком случае возникает новый
аспект. При заданном представлении р группы G имеется много способов, при
помощи которых можно получить другие представления р'. Например,
р'(н) = рТй) VugG (22.11.1)
[это означает, что каждый матричный элемент ртп (и) заменяется комплексно
сопряженным], ибо тогда р' (ut м2)=р' ("i)p' ("2) и т. д. Другим
возможным представлением является
р'(н) = (р (и)7')-1; (22.11,2)
в случае унитарности представления р (22.11.2) совпадает с
(22.11.1). Если G представляет собой группу матриц, то появляются две
новые возможности:
р' (и) = р (и), (22.11.3)
р' (") = р ((и7)-1). (22.11.4)
Если G - унитарная группа, например U (п) или SU (п), то
(22.11.3) и (22.11.4) совпадают, в противном случае эти два
пред-
ставления, вообще говоря, различны.
Сейчас мы покажем, что если G есть SU(2), то представление р', заданное в
(22.11.3), эквивалентно р; следовательно, в этом случае приведенные
способы не дают новых представлений; именно поэтому эти способы не
использовались в § 22.8. В самом деле, пусть
( 0 1\
Y=V-i о>
так что для общей матрицы размера 2x2
/ a b\ ( d -с\ у\с d)y = \-b а} <22-"-5>
В частности, для любого элемента и из SU (2) и =у~1 иу, что можно
установить, записывая и в виде Тогда, посколь-
ку у также принадлежит SU (2),
Р' (") = Р(Т_1"Т) = Р(т)_1Р(и) Р(т)
для всех и; отсюда вытекает, что р и р' - эквивалентные представления.
Когда же представления (22.11.3) и (22.11.4) расширяются
110
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
от SU (2) до SU (2, С) при помощи определений
р' (т) =р (т)
(22.11.6)
и
р' (т) = р((тГ)-1)
(22.11.7)
для т из SU (2, С), то они перестают быть не только идентичными, но даже
эквивалентными. Второе из представлений р' эквивалентно р, потому что
(тТ)~1 =у~1ту в силу (22.11.5) с учетом того, что detm=l. В то же время
представление р', заданное в (22.11.6), не является эквивалентным р, так
как если бы равенства
имели место для всех т, то в случае т ? SU (2) для этого матрица V должна
была бы совпадать с р(у), но тогда (22.11.8) теряло бы смысл для m^SU
(2), поскольку, вообще говоря, для такого т у~*ту не равно т.
Таким образом, ясно, что группа SL(2, С) имеет в некотором смысле больше
представлений, чем группа SU (2). Для того чтобы их найти, допустим, что
Х°°-множество всех комплекснозначных функций двух комплексных переменных
лу и лу, причем эти функции принадлежат классу С°° в вещественном смысле,
но не являются целыми аналитическими в отличие от рассматривавшихся в §
22.10; мы обозначим эти функции подобно тому, как это делалось в § 22.10,
через /(лу, лу, лу, лу). Вместо (22.7.2) мы имеем
(p(u)f)(xlt *2, лу, *2) =
= /(блу-13*2, ~ух1-\-ах2, блу - Р*2, -y^+axj, (22.11.9)
где и есть матрица
т. е. произвольная матрица из SL(2, С). Теперь дополнительно к трем
матрицам (22.7.3), принадлежащим SU (2), соответствующим вращениям в
пространстве и определяющим инфинитезимальные операторы Lu L2, Ls
посредством (22.7.6), мы имеем три новые, матрицы
р (т) =1/-1 р (т) V
(22.11.8)
(22.11.10)
22.12. Неприводимые подпространства Х°° для SL(2, С)
111
соответствующие преобразованиям Лоренца и определяющие новые
инфинитезимальные операторы /(,, Х2, К3- Следовательно, инфинитезимальные
операторы группы SL(2, С) получаются следующим образом: матрицы (22.7.3)
и (22.11.11) подставляются в
(22.11.3), каждый оператор p(w) дифференцируется по со и, наконец, со
полагается равным нулю. Если вспомнить, что при дифференцировании Acf,
хг, хг, хг рассматриваются как независимые переменные (см. следующий
параграф), то мы найдем, что
L, = -(г/2) (хгдх> + xldxJ + (i/2)(x2dX) + xidxJ,
L2 = (1/2) (хгдх - xtdxj + (1/2) (x2dTl-+dj,),
L1 = -(i/2)(xidx-x2dxJ + (i/2)Cx,d-x-xid-Xt), ^ j
