Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
унитарные матрицы V (g) как
W б (g, h)-непрерывная функция [ср. с (22.2.1)]. Из (22.5.1) видно, что
det К (g') = 1 для всех g, откуда 8 (g, h)n = 1, и, значит, б (g, h)
является корнем п-й степени из единицы для всех g и Л; но 8(е, е)-\,
откуда по непрерывности б(g, Л)= 1, что показывает справедливость
(22.5.2).
22.6. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Остается следующий вопрос: в каком случае локальное представление g,->Vr
(g) может быть расширено до представления всей группы SO(3)? Если Н -
группа матриц, порожденная матрицами V (g), когда g€Ж, то отображение g-
*-V (g) есть локальный гомоморфизм группы б>0(3) в группу Н. Согласно
теореме 3 § 25.13, локальный гомоморфизм группы Ли G в группу Ли Н можно
расширить до гомоморфизма всей группы G в Н, если G односвязна, но в
других случаях такого расширения может не быть. Группа G=SO(3), конечно,
не является односвязной; однако из отображения g-*-V (g)
то
У (g) V (h) = V (gh) для всех g,h в Ж0.
У (&) = [!/" te)]i/(g),
(22.5.1)
(22.5.2)
102
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
можно построить тоже локальный гомоморфизм группы SU (2) в Н, и уже этот
гомоморфизм может быть расширен, поскольку SU (2) односвязна.
Обозначим через u->g(u), где и ?SU{2), a g{и) ? SO(3), гомоморфизм группы
SU (2) на группу SO(3), который был описан в
def
§ 19.7. Тогда отображение u-+W(u)=V(g(u)) есть локальный гомоморфизм
группы SU{2) в группу Н, определенный для таких значений и, для которых
Его расширение [которое также
будет обозначаться как u-*-W(и)] является представлением группы SU (2).
Далее u->g(u) есть (2-И)-гомоморфизм; в самом деле, g(-u)=g(u)\
следовательно, два уравнения g=g{u), W=W(u) дают или (1) представление g-
+W группы S0(3) [в этом случае W (u) = W (-ы)1, или (2) соответствие двух
унитарных матриц размера пХп, скажем Vl(g) и E2(g) (причем T2(g)=-Ei(g)),
каждой матрице вращения g таким образом, что каждое из четырех
произведений
V,(g)V,(h) (?/= 11,12,21,22)
равно Vi (gh) или V2 (gh). Это соответствие называется двузначным
представлением группы S0(3). Очевидно, каждое представление SU(2)
определяет двузначное представление и, значит, лучевое представление
группы S0(3).
Резюме. Так как квантовомеханические состояния соответствуют лучам в
гильбертовом пространстве, а не векторам, вращению g физической системы
соответствует не единственное преобразование векторов данного
инвариантного подпространства с матрицей U = U (g), а множество унитарных
преобразований {aU : все а?С, такие, что |а|=1}. Было показано, однако,
что эти множества столь взаимосвязаны, что подходящим выбором матриц из
них можно получить представление группы SU (2). Это может осуществиться
одним из двух путей.
1. Оказывается возможным выбрать одну матрицу U = U(g) из каждого
множества так, чтобы дать представление S0(3), а значит, и представление
SU (2) при помощи гомоморфизмов
SU (2) ->• SO (3) -> {II (g)};
(2X2) (3X3) (nxn)
2. Оказывается необходимым выбрать две матрицы U и -U из каждого
множества и поставить их в соответствие двум элементам и и -и группы SU
(2), но лишь одному элементу g группы S0(3) таким образом, что эти
матрицы образуют обычное представление группы SU (2) и двузначное, или
спиновое, представление группы S0(3). В гл. 25 будет показано, что других
групп, связанных с S0(3) подобно группе SU (2), не существует;
следовательно, не существует многозначных представлений, кроме
двузначных.
22.7. Представления групп SU(2) и SL(2, С)
103
Аналогично для физической системы, которая инвариантна не только
относительно группы вращений 50(3), но также и относительно всей
собственной группы Лоренца 3р, преобразование волновых функций,
соответствующее данному элементу g группы 3р, не является единственным. В
этом случае существует множество преобразований {aU: Jcc J=1},
соответствующих каждому g, и эти множества столь взаимосвязаны, что можно
выбрать из них преобразования так, чтобы дать представление группы SL(2,
С) [которая связана с Зр таким же образом, как St/(2) связана с SO (3)1;
это может быть как представлением самой группы Зр, включающим скаляры,
векторы или тензоры общего вида, так и двузначным представлением
(спиновым представлением) группы 3р. В теории электрона Дирака законы
преобразований четырех компонент волновой функции электрона дают
двузначное представление группы Зр (см. книгу Дирака [1958]).
Легко видеть, что двузначное неприводимое представление невозможно
сделать однозначным, выбирая каким-либо способом одну из двух матриц U и
-U, которые представляют каждый данный элемент g из S0(3) (или 3р)\ в
самом деле, если U0- матрица, представляющая вращение на угол л в
двузначном неприводимом представлении, то можно показать, что t/2 =-/, но
UI представляет единицу группы S0(3), а потому должна быть равна +/ в
любом однозначном представлении.
22.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП SU (2) И SL (2, С)
Обсуждение носит гипотетический характер до тех пор, пока не показано,
