Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
границу прямоугольника, а затем принять соглашение о том, что все точки 0
= 0, -л < ф < л склеиваются в одну точку (северный полюс), все точки 0 =
л, -л<ср<л тоже склеиваются в одну точку (южный полюс) и для каждого 0 из
интервала (0, л) точки с координатами ф = + л и ф = -л означают одну и ту
же точку. Однако, для того чтобы иметь возможность учесть требования
гладкости и гарантировать, что поверхность, полученная после склеивания,
действительно похожа на сферу, а не на какие-нибудь чепчик или пилотку,
необходим другой подход.
Если {Uv ф!, /VJ и {U2, ф, Nt\-две перекрывающиеся карты на М9, то они
устанавливают некоторую связь между двумя
23.2. Координатные системы или карты. Согласованность
119
множествами координат точек Р из пересечения Ux П U2 и эта связь является
взаимно однозначной, поскольку каждое отображение Р-*-<р1(Я) и Р->-
<р2(.Р) является взаимно однозначным. Если мы положим х = фх(Я) и у =
<р2(-Р), то получающаяся связь между х и у и ее обращение определяют
функции (функции перехода)I, которые мы будем обозначать следующим
образом:
х'=х'(у1, уп), t = l, ..., п, (23.2.1)
у' = у' (х1, ..., хп), г = 1, ..., п. (23.2.2)
Предполагается, что эти функции непрерывны и определенное число раз
дифференцируемы; если UXC\U2 не пусто, то предполагается, что
преобразования (23.2.1) и (23.2.2) заданы на открытой области в R".
Точнее, две карты называются Ck-согласованнымиесли
1) множества \х = (р1(Р): Р ? Ux П U2\ и {y = q>2 (Р)'- P?U1nU2\ являются
открытыми подмножествами в Rn;
2) функции (23.2.1) и (23.2.2) принадлежат классу С*.
Если Ux П U2 пусто, карты автоматически согласованы.
Замечание. Из пункта 2 определения следует, что если одно из множеств,
указанных в пункте 1, открыто в IR", то и другое также оказывается
открытым.
Интуитивно ясно, что любые две разумно выбранные карты любого разумно
выбранного пространства всегда будут согласованными. Связи между ними
показаны на рис. 23.3. Отображения,
120
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
указанные на этом рисунке, означают следующее:
Ф,: Я-+ф,(Я), ф2: Я ->• ф2 (Я), х': у'-*х'(у\ ..., у"), у': х' -"у'
(х1, ..., *").
Если углы 0, ф на сфере есть координаты первой системы, то вторую систему
координат можно выбрать так, чтобы координаты 0' и ф' являлись углами
относительно других осей. Например, северный полюс Nf в новой системе (0'
= О) можно взпть
Рис. 23.4.
в точке (0 = л/2, ф = л/2) старой системы, а угол ф', отсчитываемый
вокруг нового северного полюса, выбрать так, чтобы новая линия смены дат
оказалась частью старого экватора (0 = л/2, - л/2 < ф < л/2; см. рис.
23.4). Ясно, что эти две системы в совокупности полностью покрывают
сферу.
Упражнения
1. Найдите для этого примера преобразования (23.2.1) и (23.2.2), т. е.
связь между 0, <р и 6', <р'.
2. Опишите системы координат на поверхности тора. Покажите, что тор может
быть покрыт двумя картами, однако если требуются односвязные карты, то
для покрытия тора необходимы три карты.
23.3. ИНДУЦИРОВАННАЯ ТОПОЛОГИЯ
Если {?/, ф, N\-координатная карта в пространстве М0, а ?/"- любое
подмножество U, образ которого
ф(?/") = {х = ф(Я): Я€#"}
является открытым множеством в координатном пространстве IR", то [)и
называется открытым множеством в М0. В частности, само множество U
является открытым. В R" пересечение конечного числа открытых множеств
открыто, равно как и объединение произвольного набора открытых множеств.
Поэтому открытые множества в М", определенные какой-либо картой, обладают
теми же свойствами.
23.4. Определение многообразия. Аксиома отделимости Хаусдорфа 121
Условия 1 и 2 согласованности двух карт гарантируют, что эти карты
определяют одну и ту же топологию в области их перекрытия. В частности,
условие 1 обеспечивает открытость пересечения открытых множеств и U2.
Приведем пример двух перекрывающихся карт, очевидно удовлетворяющих
условию 2, но не согласованных из-за нарушения условия 1, а именно будем
считать, что М0 состоит из точек (х, у) в IR2, лежащих на осях
х и г/, и определим две одномерные карты в М0, по одной на
каждой оси, следующим образом:
= УУ * = °Ь 4>i((*" У)) = У> ^i = k-
U2 = {(x, у): у = 0\, tp2((x, у))=х, /V2==R.
В этом случае Ul[\U2 состоит из единственной точки (х = 0, у = 0),
которая не является открытым множеством ни в одной из карт. В общем
случае две л-мерные карты могут пересекаться по поверхности меньшей
размерности чем п, причем даже так, что условие 2 удовлетворяется, однако
в этом случае их пересечение не будет открытым в R" множеством. Условие 1
исключает подобные ситуации, требуя, чтобы пересечение было л-мер-ным.
Когда пространство Мп покрыто набором согласованных карт, его топология
полностью определяется тем, что открытые множества должны быть открытыми
множествами, порождаемыми отдельными картами (как указано выше), либо
произвольными объединениями таких множеств. Тогда, в частности, все
пространство М, является открытым множеством.
