Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
сравнению с матрицей пг. Пунктирный спинор ранга 1 есть соответствие
каждой системе координат пары комплексных чисел при котором эти числа
преобразуются согласно закону
числа и преобразуются согласно закону il *¦ ^1 = ^11^1 ~Ь ^2 * ^2
" maiil Л" ^22^2-
(22.13.1)
2
2
"Vxtp, ••• pr ?e, (22.13.2)
Pt. Hi = l
^ii^12^2 >
114
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
Наконец, смешанный спинор, имеющий г индексов без точек и s индексов с
точками, есть соответствие каждой системе координат совокупности 2r+s
комплексных чисел, при котором эти числа преобразуются согласно закону
?а, ¦¦¦ "гр, ... =
2 _______________________________________
- 2 ma,V, т<ху mP,6, ••• Щ.Ь* ^Vt Vr6, ..6
Vi Vr, 6. 6f = l
(22.13.4)
Упражнения
1. Пусть -смешанный спинор ранга 2 и величины V/ (/=1, ..., 4) определены
как
Vl- + Sj.J> C2=?]'i Ь22>
^ = 5,*+5ri.
Покажите, что при вращениях и преобразованиях Лоренца величины ... ...,
vt преобразуются подобно компонентам вектора. Аналогично покажите, что
смешанный спинор ранга 2г, имеющий г индексов с точками и г индексов без
точек, определяет тензор ранга г.
2. Спинор называется симметричным, если он симметричен по индексам с
точками (т. е. не меняется при любой перестановке таких индексов), а
также симметричен по индексам без точек. Покажите, что закон
преобразования такого спинора дает представление группы SL(2, С), которое
эквивалентно представлению р(Ь г), определенному в предыдущем параграфе,
причем 21 и 21' являются числом индексов с точками и числом индексов без
точек соответственно.
Глава 23
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
Локально я-мерное пространство; сфера; тор; круг; лист Мёбиуса; бутылка
Клейна; отождествление краев; координатные карты; согласованность карт;
индуцированная топология; аксиома отделимости Хаусдорфа; многообразие;
кривые; функции на многообразии; связность; односвязность; компонента;
гомотопные кривые; гомотопические классы кривых; фундаментальная группа;
двусвязность группы SO (3); конфигурационное пространство механической
системы; декартово произведение многообразий.
Предварительные сведения: гл. 18 и 19.
Теория многообразий лежит в основе теории групп Ли и геометрий Римана и
Эйнштейна. В общую теорию относительности понятие многообразия было
введено примерно в 1960 г. (в основном Мартином Крускалом), и это
позволило по-новому оценить содержание этой теории и прояснить как
локальные, так и глобальные топологические свойства пространственно-
временных моделей. Статистическая механика имеет дело с потоками на
многообразиях. Время от времени возникают другие приложения теории
многообразий, что связано с геометрической природой физических задач.
Здесь будут рассмотрены только конечномерные многообразия; теорию более
общих многообразий см. в книге Ленга [1962].
23.1. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ.
МЕТОД ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ
Грубо говоря, л-мерное многообразие является пространством, которое
локально топологически неотличимо от л-мерного евклидова пространства Еп\
иначе говоря, каждая точка многообразия лежит в какой-то области (связном
открытом множестве), которая гомео-морфна некоторой области в Еп.
Формальное определение будет дано в § 23.4.
Любое евклидово пространство само, очевидно, является многообразием.
Простым нетривиальным примером служит двумерная сфера, т. е. множество S2
точек Е3, для которых х2+#2+г2=1 (х, у, г - декартовы координаты точек).
Любую достаточно малую область U на S2 можно взаимно однозначно
отобразить на плоскую область при помощи любой из проекций, используемых
в картографии. (В стереографической проекции в качестве U берется все S2,
за исключением одной точки.) В силу этого S2 является двумерным
116
Г л. 23. Элементарная теория многообразий
многообразием. Тор (поверхность кольца) - также двумерное многообразие.
Любое открытое подмножество многообразия (например, открытый круг x2+z/2<
1 на плоскости) является многообразием. Лист Мёбиуса (без края) - это
многообразие. Граничные точки следует отбрасывать, потому что они не
лежат на той части поверхности, которая отображается в открытое множество
плоскости. Шар и заполненный тор (без их поверхностей) -трехмерные
многообра-
зия. Многообразия с краем здесь не рассматриваются; о них см. книгу Ленга
[1962].
Поверхность, известная под названием бутылки Клейна, является двумерным
многообразием. Представьте себе поверхность в виде винной бутылки с
длинным горлышком и вдавленным донышком, как на рис. 23.1, а. Затем
представьте, что горлышко бутылки изогнуто вниз так, что оно проходит
сквозь стенку бутылки (как в Q на рис. 23.1, б), а потом соединяется
внутри бутылки с отверстием во вдавленном донышке, образуя тем самым
замкнутую одностороннюю поверхность. Эту поверхность нельзя представить
вложенной в Е3 без самопересечений (как в Q), но ее можно вложить без
самопересечений в Е4. Чтобы убедиться в этом, возьмем поверхность (см.
рис. 23.1, б), вложенную в Е3; тогда каждая ее точка имеет три координаты
