Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
композиции произвольного вращения из последовательных вращений вокруг
осей г, х и г соответственно.
6. Выведите формулу для площади А" л-мерной сферы (единичной сферы в
пространстве Еп + ф из очевидного равенства
/ ее ч n + 1 со
( ^ e~xi dxj e~r2Anrn dr,
\-<e / о
используя для этого гамма-функцию, и проверьте непосредственно, что
формула в упражнении 3 нормирована правильно. На основе (2->- ^-
гомоморфизма группы SU (2) на группу SO (3) установите, что (трехмерная)
площадь этой поверхности, которая рассматривается как многообразие группы
SO (3) (см. § 19.5), равна я2. Покажите, что объем л-мерного шара радиуса
R есть
Уп=[2я""/(яГ(л/2))1 /?".
Система тессеральных гармоник {УГ} не единственная ортогональная система
функций, которая появляется из представлений группы SO (3). Тессеральные
гармоники ортогональны на единичной двумерной сфере, которая взята в
качестве однородного пространства для представления. Однако, как было
указано в
21.5. Инвариантное интегрирование. Мера Хаара
85
§ 20.8, многообразие группы тоже может служить однородным пространством;
в таком случае возникает более широкий класс ортогональных функций, а
именно функции от углов Эйлера а, р, у, которые можно рассматривать как
внутренние координаты в 50(3). Приведенная ниже теорема будет иметь дело
с такими общими системами функций.
Для дальнейшего нам привычнее будет обозначать выражение w(g)d<A(g),
которое появляется в левоинвариантном интегрировании по многообразию
группы, просто через dg и записать равенство
(21.5.1) в виде
lf(hg)dg = lf(g)dg- (21.5.4)
G О
Обозначим через C0(G) пространство непрерывных функций с компактным
носителем на многообразии группы, или, как говорят, на группе G (если G
сама компактна, то данное пространство включает все непрерывные функции
на G). В таком случае Jf(g) dg,
G
/gC0(G), является непрерывным линейным функционалом на C0(G) и является
мерой (см. гл. 13). Поэтому иногда говорят о левоинвариантной
мере на G, или о мере Хаара, поскольку она рассматри-
валась в статье Хаара [19331.
Пусть L2(G) обозначает гильбертово пространство квадратично интегрируемых
распределений, определенных на многообразии группы, со скалярным
произведением
(/i, h)^W)fAS)dg, (21.5.5)
G
где, как и выше, dg - левоинвариантная мера (G не обязательно компактна).
Левым регулярным представлением группы G называется соответствие каждому
h из G отображения
Р (h):f(g)-+f(h~'g) (21.5.6)
пространства L2(G) на себя. (Аналогично правоинвариантный интеграл
приводит к правому регулярному представлению.) Так как скалярное
произведение основывается на левоинвариантном интеграле, видно, что
(р (h) /j, р (h) f2) = J hW4)ft dg = S h(g)h (S) dg =
a g
~(ft> h) Для всех fi'fi из и Bcex fr^G;
иначе говоря, это представление р унитарно.
Можно доказать, что в случае компактной группы G все неприводимые
представления получаются путем разложения (левого
86
Гл. 21. Представлении групп II
или правого) регулярного представления р. Это значит, что если р,- любое
неприводимое представление, то существует в 7,2 (G) такое подпространство
Xlt что сужение р на Х± эквивалентно pj.
Часто даже для некомпактной группы G можно найти неприводимые
представления, используя операторы, представленные в
(21.5.6), на некотором пространстве функций, определенных на группе, но
при этом для нахождения таких функций может возникнуть необходимость
выйти за пределы гильбертова пространства L1 (G). Мы не будем
рассматривать этот общий случай, а лишь приведем один пример: в §21.10
функции, которые появятся в связи с неприводимыми представлениями
некомпактной группы М2 движений в плоскости, не являются квадратично
интегрируемыми на G.
Вычислим теперь весовую функцию w(g). Допустим, что 0J,. . . . . ., 0"-
внутренние координаты на многообразии группы G, и мы хотим найти весовую
функцию ш(0), такую, что ш(0)<701. . Д0" является элементом инвариантной
меры dg.
Перепишем равенство (21.5.4) как
3 = \f{hg')dg' = \f{g)dg.
G а
Мы рассмотрим случай, когда функция f(g) равна нулю всюду, кроме
элементов g, находящихся в малой окрестности Jf единичного элемента
группы, причем f(g) = l для этих элементов. Соответствующие им точки
заполняют малый объем V в координатном пространстве вблизи 0 = 0; поэтому
в правой части вышеприведенного равенства мы получим 3zeVw(0). Отличные
от нуля значения в левой части обязаны своим появлением элементам группы
hg' из окрестности Ж единицы и, значит, элементам g' из окрестности
элемента Л-1, имеющей объем V', так что 3 яе V'w(h~xy, следовательно,
чтобы определить w(h~x), нам нужно знать V'. Пусть g' = h~x k, где k
меняется в oi'f. Обозначим через 0(g) координаты любого элемента группы
g. Таким образом, обозначив через 0 и 0' координаты k и g'=h~xk, имеем
0 = 0(fe), 0'=0(/i-ife) = 0' (0).
Когда 0 изменяется в объеме V, 0' пробегает объем V'\ поэтому, используя
якобиан, V' можно выразить так:
V' "5(0;,..., 0;)/а(0,.......0")|ок,
где индекс 0 указывает на то, что якобиан берется при 0 = 0. Итак, мы
