Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
тривиальной, хотя является весьма глубоким результатом элементарной
линейной алгебры.
Лемма (Шур). Если рх и ра-неприводимые представления группы G на и V1
соответственно, а А-матрица размера Ixk, такая, что
(ё) = Рг (§) А для всех g?G, (21.3.1)
то либо k=l и А имеет обратную матрицу Л-1 (и, значит, pt и р2
эквивалентны), либо А -нулевая матрица. В первом случае А определяется
единственным образом (с точностью до скалярного множителя) из условия
(21.3.1).
Доказательство. Пусть S - нуль-пространство матрицы А, состоящее из всех
векторов х ? VR, таких, что Лх = 0. Пространство S инвариантно
относительно всех pj(g), ибо если Лх=0, то ^4px(g)x = 0 согласно
(21.3.1). Так как рх неприводимо, то S либо совпадает со всем Vk, и в
этом случае А = О, либо S содержит лишь нулевой вектор. В этом последнем
случае не существует ненулевого вектора, ортогонального ко всем строкам
матрицы А; следовательно, количество строк /Э=/г, а отображение х->у = Лх
обратимо, поскольку любая подматрица в А размера kxk невырожденна и может
быть использована для решения уравнения у = Лх относительно х.
Пусть S'-образ пространства Vk в V1 при отображении х-> Лх; тогда
подпространство S' является /г-мерным и инвариантным относительно всех
21.4. Компактные и некомпактные группы
81
pa(g), так как если у=Лх для некоторого х, то р2 (#) у = Ах' для х' = pj
(#) х. Представление р2 неприводимо; поэтому 5' = И, k = l, а А~1 -
матрица обратного отображения.
Теперь докажем единственность матрицы А. Допустим, что В-другая ненулевая
матрица с тем же свойством, а именно Врг (g) = р2 (#) В для всех#; тогда
нужно доказать, что /4 = consbB. Ясно, что
Рг (&) АВ~Х = /1В-1р2 (g) для всех g.
Из этого равенства следует, что если v-собственный вектор матрицы АВ~*
(любая матрица имеет хотя бы один собственный вектор), то р2 (g) v также
является собственным вектором этой матрицы, соответствующим тому же
самому собственному значению, скажем %. Иначе говоря, одномерное
собственное подпространство, содержащее V, инвариантно относительно р2
(#) для всех g. Поскольку рз неприводимо, полное собственное
подпространство, соответствующее %, должно совпадать со всем Vk\ таким
образом, АВ~1\ =%\ для всех v, а, значит, В-1 =ХА~1 или А = %В, что и
требовалось доказать.
Замечание. В доказательстве нигде не использовался тот факт, что G-
группа. Все выводы сохраняются, если {рх (g)} и {p2(g)} - два любых
неприводимых множества квадратных матриц. Множество {М[\ матриц размера
kxk является неприводимым, если нельзя найти нетривиального собственного
подпространства пространства V*, которое было бы инвариантным
относительно всех отображений х-<-М(-х.
При доказательстве леммы Шура был установлен следующий результат.
Следствие. Любая матрица, которая коммутирует со всеми матрицами
неприводимого представления (или неприводимого множества матриц), кратна
единичной матрице.
Как дальнейшее следствие леммы имеем следующую теорему.
Теорема. Любое конечномерное неприводимое представление р абелевой
(коммутативной) группы одномерно.
Доказательство. Так как каждая матрица р (Д) коммутирует со всеми р(#),то
каждая р (Н) кратна единичной матрице; следовательно, представление р
приводимо, если оно не одномерно.
Теперь ясно, почему в § 20.5 были обнаружены только одномерные
представления группы 50(2).
21.4. КОМПАКТНЫЕ И НЕКОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
В § 19.5 было указано, что матрицы размера пхп (вообще говоря,
комплексные) можно представлять точками в пространстве V, имеющем 2п2
(вещественных) измерений, и что множество всех матриц, составляющих любую
группу, подобную GL(ri), SL(n), U (п), О (п) и т. п., есть алгебраическая
поверхность & в пространстве V. Для упомянутых групп (они являются
непрерывными группами, или группами Ли) S' всегда представляет собой
замк-
82
Гл. 21. Представления групп II
нутое точечное множество, но оно может не быть ограниченным. Для О (п), U
(п), SO(n), SU (п) поверхность & ограничена [например, из уравнения
(19.5.1) следует, что для группы 0(3) ни одна точка на & не может иметь
координату Rfk, превышающую по абсолютной величине единицу], тогда как
для GL(n), SL(n), М" и для группы Лоренца & не является ограниченной
(расширяется в V до бесконечности). В первом случае группа называется
компактной (аГ есть компактное множество в V), а во втором-некомпактной.
Теория компактных групп много проще, чем соответствующая теория
некомпактных групп; это обстоятельство демонстрирует интересную
взаимосвязь различных областей математики: компактность группового
многообразия представляет собой геометрическое свойство, в то время как
упомянутые упрощения имеют в основном алгебраический характер.
Следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства, показывают,
что в случае компактных групп достаточно рассматривать унитарные
представления.
Теорема 1. Пусть р-конечномерное представление компактной группы G. Тогда
р эквивалентно некоторому унитарному представлению; иначе говоря,
