Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 28

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 162 >> Следующая

Yfm = k{-l)m Yf,
где k-постоянная, которая равна 1, в чем мы скоро убедимся. Поскольку
постоянная С в (20.10.6) вещественна, формулы (20.9.9) й (20.10.7)
показывают, что P\{w)-вещественная функция; далее из (20.11.1) следует,
что и все Pf(w) тоже вещественны; значит, согласно (20.10.7), Y°
вещественна. Положив в приведенном выше уравнении т = 0, мы видим, что k
- 1. Итак,
УТт(Ъ, Ф) = (-1 )mYf(B, ф). (20.11.7)
Так как У' = C^sinO)', причем С задана в (20.10.6), из (20.11.7) следует
явное выражение для Yf1, и благодаря (20.10.7) мы получим искомый вид
(20.11.5) для Pf'. (Некоторые авторы определяют Yfm как функцию,
комплексно сопряженную к Yf, определив последнюю для m ^ 0. Предложенная
здесь процедура имеет некоторые преимущества; например, матрицы р1т.т
неприводимых представлений группы вращений, которые приводятся ниже,
являются симметричными.)
Ясно, что для четного т Pf(w) является многочленом. Р°, (w) обычно
обозначается как Pt (w) и называется многочленом Лежандра степени I.
Упражнения
1 1
1. Покажите, что ^ (1-w2)1 dw= [21Ц21-\- 1)] С (1-wty^dw, и используй-
о 0
те этот результат, чтобы при помощи индукции показать правильность
вычисления интеграла в (20.10.5).
2. Выразите операторы L*- через переменные w и ф, где w= cos 0, и
выведите рекуррентные соотношения (20.11.1), (20.11.2) из (20.9.11),
20.12. Матрицы неприводимых представлений группы S0(3)
71
3. Для случая т = 0 проверьте, чтоформула Родрига (20.11.6) дает решение
дифференциального уравнения Лежандра, т. е. уравнения (20.11.3) с т=0.
[Это решение есть Р{ (ну).] Вы можете сделать то же самое для т Ф 0, но
это несколько сложнее.
4. Так как Pf и РТт удовлетворяют одному и тому же уравнению (20.11.3)
(это уравнение не меняется при замене т на -т), причем оно имеет самое
большее одно решение, регулярное при оу=±1, то эти функции
пропорциональны. Найдите коэффициент пропорциональности. Предостережение
на будущее: некоторые авторы полагают функцию Р7т равной P'f.
5. Покажите, что справедливо отличное от (20.11.6) выражение функции Pf
(w), а именно
для -Кт<1.
20.12. МАТРИЦЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ 50(3). УГЛЫ ЭЙЛЕРА
При заданном / функции Yf (т = 1, /-1, ..., -I) берутся в качестве
базисных векторов в пространстве Хг1+Х (2/+^-мерного представления группы
SO (3), которое мы нашли в предыдущих параграфах. Для любой функции / = /
(0, ср) р (g) / является функцией, полученной путем перенесения значений
функции /(0, ср) при движении по сфере согласно вращению g.
Следовательно, матрица p*(g) преобразования p(g), действие которого
ограничено подпространством Xг/+1, имеет элементы р1т,т, задаваемые
посредством разложения
i
iP(g)Y?)(Q> ф)= 2 Рт'т {§) Yf' (0, ф) (т-1,1- 1.............-/).
(20.12.1)
Удобно выражать вращение при помощи углов Эйлера а, р, у и писать р(а, р,
у) вместо р (g). Тогда g является результатом следующих последовательных
вращений!
1) вращения вокруг оси г на угол у,
2) вращения вокруг оси х на угол Р,
3) вращения вокруг оси г на угол а.
(См. упражнения 3-5 § 21.5.) Соответственно матрица р' раз-
лагается следующим образом!
Р' (а, Р, у) = р' (а, 0, 0) р' (0, р, 0) р' (0, 0, у).
Первый и третий множители в этом произведений представляют собой
диагональные матрицы; преобразование р (а, 0, 0) лишь заменяет в функции
ср на ср-а, и, значит, при этом преобразовании Yf умножается на е~1ат, т.
е.
Рт'т О*. 0, 0) = e-'"m'6m>m.
72
Га. 20. Представления групп 1
Таким образом, р'т,т (а, р, у) можно представить в следующем виде: Рт'т
(". P. v) = e-iam'P^m(cosP)e-ivm. (20.12.2)
Функции Plm,m(w) тесно связаны с многочленами Якоби; подробно их свойства
рассматриваются в книгах Гельфанда, Минлоса и Шапиро [1958] и Виленкина
[1965], к которым и отсылается читатель за деталями. (Определение функций
Р1т,т, данное ниже, совпадает с определением Гельфанда и др. и отличается
комплексным сопряжением от определения Виленкина.) Функции Р'п,т имеют
вид
Plm'm(w) = C (I +ш)-<т + т'>/2(1- ш)<т-т'>/2 X
(w-iy-'*(w+ir'*l (20.12.3)
где
(20.12.4)
(Возможно, логичнее было бы вынести явно множитель im'~m в определение
р1т,т (20.12.2), а не оставлять его в формуле для функции Р1т,т, которая
была бы тогда вещественной для -1 < 1, но так делать не принято.)
При т = 0 (и при т'= 0) эти функции пропорциональны присоединенным
функциям Лежандра. Сравнение (20.12.3) с (20.11.8) показывает, что
Pin* (w) = (-i)m' V{l-tn')W + tn')\Pr И (20.12.5)
[в частности, PlM (w) - Pt (ну)]; следовательно,
Р^г.о (а, Р, 0) = К4л/(2/ + 1) Yf' (Р, а-л/2). (20.12.6)
[То же самое получается и для р1т,й (а, р, у), ибо р1т,0 не зависит от
у.]
Упражнения
1. Проверьте (20.12.1), когда g-вращение вокруг оси г.
2. Проверьте (20,12.1), когда g-вращение на угол я вокруг оси х,
3. Покажите, что для /=1 функции Р1т,т суть элементы матрицы
{ (1+ш)/2 -! У (1 -ш2)/2 (ш-1)/2 \
(Р'т'т)=[ -( V (1 - Ю2)/2 да - i \Г(\ - да")/2 ),
\ (да-1)/2 - 1[С(1_к,2)/2 (1+да)/2 /
где строки нумеруются сверху вниз, соответствуя mf = -1,0, 1, а столбцы -
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed