Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
греческого слова, означающего "четырехугольный") есть криволинейный
прямоугольник, такой, как прямоугольники, на которые разбивается
сферическая поверхность узловыми линиями функций Re Yf или Im Yf, причем
эти линии совпадают с определенными параллелями 0 = const и определенными
меридианами ф = const.
Скалярное произведение в пространстве Х°° (S) функций на единичной сфере
S определяется следующим образом:
2л л
ifi' $М°> ф)М0. Ф)sin0d0dф. (20.10.1)
о о
Пополнение пространства Х°° (S) относительно нормы lfl - (f,f)1/2 есть
гильбертово пространство L2(S). Операторы р (g), g?SO (3), унитарны в
L2(S), так как, во-первых, они определены во всем L2(S) и обратимы, а,
во-вторых [в силу инвариантности интеграла
(20.10.1) относительно вращений],
(9(8) ft, Р (g)f,) = (ft, /.) (20.10.2)
для всех /{ и /2. Будет показано, что функции Y'f ортогональны
в смысле скалярного произведения (20.10.1). Если выбрать надлежащим
образом константу С в (20.9.9) (она может зависеть от I), то функции Yf
будут также нормированными. Мы покажем,
68
Гл. 20. Представления групп I
что эти функции образуют полную ортонормированную систему функций на
сфере.
Если проинтегрировать только по ф, то сразу будет видно, что Yf,' и Yff
ортогональны при т1фт2, поскольку произведение YffYff содержит множитель
Из (20.9.5) следует
антисимметрия операторов Lh т. е. (Ltf, g) = - (/, L(g), откуда в свою
очередь следует, что L~L+-симметрический оператор. Кроме того, из
(20.9.11) вытекает, что
L~L+YT = - (аТУ Yf, (20.10.3)
где, согласно (20.9.12),
(aff = (l + m+\)(l-m) (20.10.4)
[здесь несколько изменены обозначения по сравнению с (20.9.12)]. Поэтому
соотношение
(L-L*Y?t, У?) = (У?" L-L+YT.)
эквивалентно тому, что
KYW, Ю = Ю'(УЛ, уТ.);
следовательно, поскольку а(tm)Фа% Для I, ф /2, функции Yf ортогональны.
Теперь покажем, как нужно выбрать константу С в (20.9.9), чтобы
нормировать функции Yf. Оператором, сопряженным к L+, является оператор -
L~\ поэтому
(L*Yf, Yf+1) = (Yf, -L~Yf+1).
Поскольку = am = af, из (20.9.11) следует, что
(-iafYf+\ Yf+i) = (Yf, iafYf),
откуда видно, что для данного I \Yff не зависит от т. Полагая ф, = К{ и
используя (20.9.9), получаем
Л
|Y1,||2 = 2л|С|2 Jsin2i+10d0 =
- 4"'СI' 13?. "iff ц - 4я IС Г^Г- (20.10.5)
Итак, все функции Yf будут нормированы, если взять константу С в виде
С = С, = [(- 1)'/(2'/!)]^(2/ + 1)!/(4я). (20.10.6)
Используя Y't, заданную формулами (20.9.9) и (20.10.6), а также остальные
Yf, получаемые из Y} при помощи рекуррентных соотношений (20.9.11), а
именно L'Yf*1 = - iafYf, мы определим
20.11. Присоединенные функции Лежандра
69
новые функции Pf(w), называемые присоединенными функциями Лежандра, для -
1 да 1 следующим образом:
Y? (9. ф) - (- 1)" V[(2/ + 1)/(4л)] (/-т)!/(/ + т)! Pf (cos 0) eirnф
(-(20.10.7)
Замечания. (1) Множители (-1)* в (20.10.6) и (-l)1" в (20.10.7) не
являются обязательными, но общеприняты. (2) Исторически Pf(w) впервые
определялись при помощи формул (20.11.6) (см. следующий параграф), а
затем определялись Yf (0, <р) посредством формулы (20.10.7). (3) Символ
Pf(w) используется различными авторами для обозначения несколько
отличающихся функций. Здесь принято то же, что у Толмена [1968] и у
других авторов для всех т (т. е. -/ ^ m ^ /); оно совпадает с
первоначальным определением Феррерса (см. книгу Уиттекера и Ватсона
[1927]) для т^0.
20.11. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
В этом параграфе свойства функций Pf(w) выводятся из теории представлений
групп.
Из рекуррентных соотношений для Yf, используя формулу
(20.9.6) для операторов L±, легко вывести рекуррентные соотношения для
Pf;
\f\.~&pf (да) + Pf (w) = Pf-" (да) (- / < m < /), (20.11.1)
V 1 -w2
yr^v?Pf' (да) JgSLss Pf (да) (I + m) (I-m + \)Pf~' (да)
V 1 -w2
(- /<m</), (20.11.2)
где штрих означает дифференцирование по да. Если первое из этих уравнений
продифференцировать еще раз, а затем при помощи второго уравнения
исключить Pf+1 и Pf+1', то получится дифференциальное уравнение Лежандра
(1 -ay2) Pf"-2wPf + [/2 + i-m2/(\-w2)]Pf = 0 (20.11.3)
для Pf(w). Рекуррентное соотношение (20.11.1) можно записать в виде
(1 _ay2)-<"*+i>/2/>f+1 (да) = d[(l -гv2)~mi2 Pf (w)]/dw, откуда путем
очевидной индукции можно получить
(1 _о,2)-т/2рт (да) = (^_у+т [(1 _ wy/2 Pjl (ц,)], (20.11.4)
Далее будет показано, что
Pj' (да) = [(- 1)'/(2'Л)](1 - w2)U\ (20.11.5)
70
Г л. 20. Представления групп /
и мы приходим к так называемой формуле Родрига
pT(w)=±(l-w>)m/> (±у+т -
(т = - /, -/+1, /). (20.11.6)
[Для этой цели можно было бы сначала взять Yf1, а не Y\ и определять
остальные Yf при помощи оператора поднятия L+, а не оператора опускания
L~. Тем не менее общая связь между Yf и Yjm, которая сейчас потребуется,
представляет и самостоятельный интерес.] Поскольку L+ и L~ комплексно
сопряжены, уравнения, комплексно сопряженные уравнениям (20.9.11), имеют
вид
отсюда видно, что функции (-l)"^ удовлетворяют тем же уравнениям, что и
функции ф_т; следовательно,
