Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
заключаем, что
ш(0(/!->)) = С[д(в'и ..., 0л)/д(0j, ..., 0")|"]-\ (21.5.7)
причем С = w (0). В силу произвольности h также произволен и h~x;
следовательно, данное выражение определяет w (0) для всех 0.
21.6. Полная система представлений компактной группы
87
В случае компактной группы О константу С можно выбрать так,
чтобы ^ dg = 1. с
Упражнение
7. Пусть G - группа вращений SO(3), 0Х, ву, 0г - внутренние
координаты, введенные в § 19.6, а 0 - вектор с компонентами 0Х, ву, 0г.
Пусть, в частности, 0 представляет элемент группы k в вышеприведенном
рассмотрении, причем ||0||< 1, а 0' представляет h~J k. С точностью до
величин первого порядка малости [см. (19.6.1)]
/1-0* 0у *= 0* 1 -0*
V-00 0Х 1
Поскольку w (h*1) не зависит от направления оси вращения, в качестве Л-1
можно взять вращение на угол а вокруг оси х, т. е. можно положить
/10 0 Л-1 = I 0 cos а - sin а \0 sin а cos а
Покажите, что координаты 0Х, 0,Л 02 элемента h~lk с точностью до первого
порядка малости имеют вид
" 1 + cosa 0г1 п'_"Го 1 +cos а 00"] v~2вБГа-----' 0г-а " 2sln а +TJ
'
0л: - 0у=СС
откуда якобиан равен
д(Вх, 00, e'z)/d(Qx, 00, 0г) |9=0 = се2/[2 (1 - cos а)], (21.5.8)
и, следовательно, нормированная весовая функция задается как
ii)(0') = (l- cos а)/(4л2а"), а = |]0'||. (21.5.9)
Указание. Для заданной матрицы вращения угол вращения и направление оси
даются формулами (19.2.7) и (19.2.8).
21.6. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИИ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ
Мы пришли к одной из важнейших теорем о компактных группах.
Теорема. Пусть р* (k= 1, 2, ...) -полный набор неэквивалентных
неприводимых унитарных представлений компактной группы G; пусть dk -
размерность р*, а (g) - матричные элементы преобразования p*(g). Тогда
функции
VTkpkmn{g), /г = 1, 2, ..., 1
образуют полную ортонормированную систему на G относительно скалярного
произведения, основанного на инвариантном интегрировании по G.
Замечания. (1) Напомним, что на компактных группах лево-и
правоинвариантное интегрирования совпадают. (2) Предпола-
88
Гл. 21. Представления групп //
гается, что jjdg=l. (3) Предполагается, что матричные элементы
в
относятся к ортонормированной системе векторов, так что матрицы (Ршп (g))
унитарных преобразований р* (g) унитарны.
Доказательство теоремы см. в книге Виленкина [1965]. С орто-
нормированностью этих функций дело обстоит просто, а вот их полнота
представляет собой более глубокий факт, который был доказан Петером и
Вейлем [1927].
Для G=SO(3) теорема гласит, что функции
К2Г+1 eim'a Р'т,т (cos |3) е~ 'mv, / = 0,1,2,..., -/<m',m</,
образуют полную ортонормированную систему на многообразии группы SO (3)
относительно скалярного произведения
2л Л 2л
(/1. j j j /1 (". p. Y) /2 (a- p- Y)sinpdadpdv;
000
cm. (20.12.2) и упражнение 3 в предыдущем параграфе.
Разложение функций из L*(G) в (обобщенный) ряд Фурье по функциям,
описанным в приведенной теореме, называется гармоническим анализом на
группе. Гармонический анализ на некомпактных группах включает обобщенные
интегралы Фурье; см., например, книгу Гельфанда, Граева и Виленкина
[1962] по поводу гармонического анализа на SL(2, С) и книгу Уорнера
[1972] по поводу гармонического анализа на полупростых группах Ли.
Аналогичная теорема справедлива при некоторых условиях для функций,
полученных на других однородных пространствах с надлежащим образом
выбранным скалярным произведением; см. книгу Виленкина [1965, разд. 4.5
гл. 1]. Примером служит факт, уже установленный нами и состоящий в том,
что функции Yf(Q, ср) образуют полную ортонормированную систему на
единичной двумерной сфере.
21.7. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА КАК КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В ФИЗИКЕ
Физические соображения часто указывают на то, какой выбор однородного
пространства следует сделать, чтобы получить функции для заданной группы
симметрии, представляющие интерес для рассматриваемой задачи. Для
квантовомеханического движения в центральном силовом поле координатами
являются г, 0, ср; поскольку имеются лишь две угловые переменные, то
подходящим однородным пространством будет двумерная сфера. Этот выбор
приводит к функциям У7'(0, ср), которые, таким образом, можно взять для
представления угловой зависимости волновой функции. С другой
21.8. Группа М2 и родственные группы
89
стороны, для описания движения твердого тела около его центра масс
существуют три угловые переменные, а именно углы Эйлера а, р, у, и в
качестве конфигурационного пространства можно рассматривать многообразие
группы SO(3). Зоммерфельд [1929] показал, что квантовомеханическая задача
о движении симметричного волчка (твердого тела с двумя равными моментами
инерции), которая представляет интерес для теории молекулярных спектров,
может быть решена путем использования многочленов Якоби. Конечно, в
качестве волновых функций симметричного волчка можно взять и функции
(20.12.2).
21.8. ГРУППА М2 И РОДСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
Движение в вещественном я-мерном пространстве Vп состоит из вращения х-у
Rx [/??SO(n)], за которым следует трансляция1) х->-х + 1, где 1 -
