Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
существует такая фиксированная невырожденная матрица А, что матрица
Ap(g)A~1 унитарна для всех элементов g из G.
Это можно переформулировать следующим образом: если определить в
представляющем пространстве X скалярное произведе-
def
ние (• , -)i пРи помощи равенства (|, t})j = (Л|, Лт]), где (• , •)
означает первоначальное скалярное произведение, заданное как (х, у) =
х*у, то
(p(g)S. pte)4)i = (S. Ti)i для всех g?G и всех 1, tj^X; (21.4.1)
иначе говоря, матрицы р (g) унитарны относительно нового скалярного
произведения.
Справедлива и более, общая формулировка:
Теорема 2. Пусть р-представление компактной группы G на гильбертовом
пространстве Н, т. е. для любого g р (g) - обратимый ограниченный
линейный оператор в Н и р (gjg,) = = Р (gi) Р (ёг)- Тогда в Н существует
новое скалярное произведем ние (• , -[j, такое, что
(p(g)u, p(gr)y)1 = (", v)i для всех g?G и всех и, v?H. (21.4.2)
Теорема 3. Все неприводимые унитарные представления компактной группы G
конечномерны.
В противоположность этому группы Лоренца имеют бесконечномерные
неприводимые унитарные представления.
21.5. Инвариантное интегрирование. Мера Хаара
83
21.5. ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. МЕРА ХААРА
Допустим, что G-компактная группа матриц размера пхп\ многообразие of
группы G является компактной (замкнутой ограниченной) поверхностью
(размерности т ^ 2/г2) в пространстве V 2/га (вещественных) измерений
(см. § 19.5). Можно доказать, что существует положительная непрерывная
функция w(g), определенная на of (здесь символ g используется как для
обозначения элемента группы, так и для обозначения соответствующей точки
на of) и обладающая замечательным свойством, а именно если f-любая
непрерывная функция на of и h-любой фиксированный элемент группы, то
для всех G и для всех непрерывных на of функций /; (21.5.1)
здесь dA (g) есть т-мерный элемент объема или "элемент площади" на of.
Это остается верным и в том случае, когда G некомпактна, так что
поверхность & расширяется в V до бесконечности, т. е. и тогда существует
весовая функция w(g) на of, такая, что справедливо (21.5.1), при условии,
разумеется, что для функции / данные интегралы сходятся.
Отображение g-^-hg группы G на себя для фиксированного Л называется левой
трансляцией в G. Приведенное выше равенство показывает, что интеграл от
непрерывной на функции с весовой функцией w инвариантен относительно всех
левых трансляций в группе. Интеграл в (21.5.1) называется
левоинвариантным интегралом. Доказательство существования весовой функции
w можно найти в книге Вигнера [1931] в разделе "Интеграл Гурвица"; см.
также книгу Нахбина [1965].
Аналогичный инвариантный интеграл существует для правых трансляций. Можно
доказать, что, в частности, для компактной группы G приведенный выше
интеграл (с той же самой весовой функцией w) также инвариантен
относительно правых трансляций и относительно инверсий, т. е.
\f(g)w (g) d<4 (?) = $/ (gh) w (g) dA (g)=\f (g x) w (g) dA (g).
Доказательство см., например, в книге Вейля [1932, гл. III, § 12].
Упражнения
1, Покажите, что любая матрица g в SU (2) может быть записана в виде
S f (hS) w (ё) dA(g)~\f (ё) w (?) (g)
(21.5.2)
84
Гл. 21. Представления групп П
где а и Ь-комплексные числа, подчиненные единственному условию |л|2 + -j-
|6|2=l. Поэтому если а = *! + ыс2 и b = x3-{- ixit то многообразие S
группы SU (2) гомеоморфно трехмерной сфере S3, т. е. единичной сфере дг?-
)- дс! + ¦ф- Хз -f- Х4 = 1 в R1.
2. Покажите, что левая трансляция g->-/ig в SU (2), где h-фиксированный
элемент группы, индуцирует вращение сферы S3 вокруг ее центра и,
следовательно, покажите, что если dot (g) - элемент трехмерной площади на
S3, то в качестве весовой функции w (g) в (21.5.2) можно взять константу
и интеграл ^ { (g) dJl (g) будет инвариантным относительно левых (также и
правых) трансляций в указанной группе.
3. Пусть числа а и Ь из упражнения 1 записаны в виде
а = cos (Р/2) ехр [/ (а + у)/2], b = isin (P/2) exp [t (a-y)/2],
где
0<а<2я, 0<Р^я, -2я"?у <
тогда g записывается как g (а, Р, у) и переменные а, Р, у называются
углами Эйлера вращения g. [Благодаря гомоморфизму группы SU (2) на SO
(3), установленному в § 19.7, эти углы станут углами Эйлера для вращения
R (g) в случае, когда у ограничен интервалом 0<у< 2я; отметим, что замена
у на уф-2я приводит к замене g на -g, но оставляет неизменным R (g).]
Покажите, что если углы Эйлера взять в качестве внутренних координат в
группе SU (2), то элемент площади на S3 имеет вид
dA (g) = */е sin Р da dfi dy.
4. Покажите, что
в (". Р> У)=в(", 0, 0)g(0, р, 0)g(0, 0, у). (21.5.3)
5. Обозначив R (g (а, Р, у)) через R(а, Р, у), покажите, что благодаря
гомоморфизму группы SU (2) на группу SO (3) (§ 19.7) вращение R (а, 0, 0)
совпадает с вращением R (0, 0, а) и является вращением на угол а вокруг
оси г, тогда как R (0, р, 0) является вращением на угол Р вокруг оси х.
Дайте геометрическую интерпретацию результата упражнения 4 как закона
