Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
совпадает с равенством gksu = 0, которое, как известно, и должно
выполняться в римановом или псевдоримановом многообразии. Поэтому
необходимое и достаточное условие существования метрики, согласующейся со
связностью, состоит в том, чтобы система уравнений (27.10.12) имела
какое-нибудь решение gkl (х\ ..., хп).
Упражнение
1. Покажите, что из условия согласованности метрики и связности,
выражаемого уравнением (27.10.12), следует, что если его решение
существует, то оно удовлетворяет равенству
Rrkjigrs + Rrsjigrk = 0, (27.10.13)
которое в точности совпадает с первым из соотношений (27.10.2). При
помощи ковариантного дифференцирования получите из этого равенства
остальные соотношения.
2. Рассмотрим многообразие, в котором аффинная связность задана формулой
Г)2 (**,..., х") = Гг/ (х\...,х")= Sjx1;
Г)* = 0 во всех остальных случаях.
Покажите, что для этого многообразия в начале координат нет
симметрического решения уравнения (27.10.13); покажите также, что тензор
Риччи не симметричен: R12 Ф R21.
3. Покажите, что если в римановом или псевдоримановом многообразии тензор
Риччи Rij равен нулю (как в случае пустого пространства-времени общей
теории относительности), то два естественных определения операторов
Лапласа и Даламбера, когда они применяются к векторному полю, совпадают:
ki = gklVj- k;,i-
Иначе говоря, как было указано в предыдущем параграфе, мы получаем для
выражения в левой части этого равенства правильное представление в начале
геодезических координат.
4. Покажите, что в римановом или псевдоримановом многообразии вначале
геодезических координат
Pgjkldy1 дут = -'1з (Rjklm + Rkljm) =
= -1/з (Rjklm + R/mkd- (27.10.14)
Отсюда следует, что тензор Римана содержит всю информацию о геометрии в
малой окрестности любой точки, задаваемую метрическим тензором и его
первыми и вторыми частными производными в этой точке, потому что найдется
такая система координат (геодезических), что в этой точке выполняются
стандартные равенства gjk = &/k и dgjk/dxl = 0; следовательно, в этой
системе координат эти величины никакой информации не содержат, тогда как
вторые производные получаются из приведенного выше уравнения.
252
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
27.11. ТЕНЗОР РИМАНА И ВНУТРЕННЯЯ КРИВИЗНА МНОГООБРАЗИЯ
Предположим, что п-мерное многообразие М погружается в евклидово
пространство EN (т. е. рассматривается как л-мерная поверхность в нем) с
наследуемой из Е* метрикой. Тогда геометрия М включает как внутренние,
так и внешние аспекты; под первыми понимаются такие свойства, которые
определяются метрическим тензором на М и не зависят от конкретного
способа погружения М в EN. (Например, плоский лист из нерастяжимого мате-
Рис. 27.2.
риала можно свернуть так, как показано на рис. 27.1, и тогда его
наследуемая метрика будет совпадать с метрикой евклидовой плоскости.)
Геодезическая в М является обычно некоторой кривой в EN, и ее кривизна
оказывается внешним свойством: центр кривизны лежит вне ЛГ
С другой стороны, кривизну того вида, которой обладает поверхность сферы,
можно определить метрикой. Кривизну поверхности Земли можно в принципе
определить при помощи измерений, проведенных исключительно на этой
поверхности: строится большой треугольник, сторонами которого являются
геодезические (наикратчайшие пути между вершинами), и измеряются площадь
А треугольника и сумма 2 его углов. После этого радиус Земли вычисляется
по формуле
Л/г2 = 2 - п. (27.11.1)
Очевидно, что 2-п есть угловое отклонение вектора от его первоначального
направления после параллельного переноса по контуру треугольника. Можно
представить себе вектор как стрелу,
Рис. 27.1.
'Л.12. Плоские многообразия
253
лежащую на палубе корабля, плывущего вокруг треугольника. Когда корабль
изменяет направление своего движения в одной из вершин, совершая поворот
направо на некоторый угол, стрела в это время поворачивается на тот же
угол налево по отношению к направлению движения корабля до поворота.
Заметим, что поверхность, обладающую кривизной такого рода, можно
погрузить в Е3 различными способами. Полусферу можно изогнуть без
растяжения, деформируя экватор так, как показано на рис. 27.2. Согласно
дифференциальной геометрии поверхностей в Е3, произведение двух главных
радиусов кривизны в данной точке инвариантно по отношению к такого рода
деформации без растяжения.
Теперь мы выведем формулу, обобщающую (27.11.1) на случай общего "-
мерного аффинно связного многообразия М, не обязательно погруженного в
плоское пространство более высокой размерности. Пусть х1, ..., хп -
координаты на некоторой карте в М. Рассмотрим какую-нибудь очень
маленькую замкнутую кривую % в М, полученную при обходе точкой х'
параллелограмма в координатном пространстве R" с вершинами х;(0), л/(0)-
fa1', x'(0)-f-+ a'+bi, х' (0) -f- Ь', х' (0), где а' и Ь'-достаточно
малые величины. Простые вычисления показывают, что если какой-то вектор
V' перемещается параллельным переносом вокруг #, начиная с t/ = |' в
