Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
28.3. Карты Шварцшильда
265
они преобразуются на S0. Пусть, наконец, г - переменная, значения которой
возрастают непрерывно при движении наружу и при помощи которой одна
инвариантная сфера отличается от другой. Примем г, 0, ф в качестве
координат на карте; тогда метрика сферически симметрична относительно
этих координат уже в обычном смысле.
Теперь в М мы имеем четырехмерную карту с координатной областью N с. R4,
для которой
где а - пока еще неизвестная постоянная.
Как обычно, эта карта не покрывает сразу и северный, и южный полюсы 0=0,
л, а также "международную линию смены дат" ф= = ±л на любой поверхности
r=const, x4=const, однако это может быть сделано другой точно такой же
картой, ориентированной так, что обе они уже полностью покрывали бы все
такие поверхности. В дальнейшем подобная процедура будет предполагаться
автоматически выполненной каждый раз, когда используются полярные углы 0
и ф; в этом случае употребление слова "карта" в действительности означает
использование многообразия, содержащего две такие карты.
Покажем теперь, что когда метрика рассматривается только на поверхности
r=const, x4=const, она принимает вид
где А - положительная постоянная, которая может зависеть от г. Чтобы
показать это, будем считать г, х4 и ф постоянными и рассмотрим
метрическую форму при 0=0, ф=0. Тогда ds2=/ld02, где A=gi2 (г, 0, 0, х4);
чтобы найти ds2 для других значений 0 и ф, нужно только применить
вращение, которое преобразует 0, ф в 0, 0. Поскольку метрика инвариантна,
ds2 должна преобразовываться в AdQ2, однако известно, что линейный
элемент (28.3.3) инвариантен относительно вращений в системе координат 0,
ф; следовательно, формула (28.3.3) справедлива на всей поверхности.
Вследствие симметрии, т. е. инвариантности метрики относительно
преобразований из группы G, легко показать, что может зависеть только от
г и что в сумме g(iVdx(idxv не может быть членов, связывающих 0 или ф с г
или х4. Следовательно, эта метрика имеет вид
ds2 = gn dr2 + А (г) (d02 + sin2 0dф2) + 2g14 drdx4 + g14 (dx4)2.
(28.3.4;
На больших расстояниях gu"l, gu"-1, g,4"0; отсюда следует* в частности,
что по непрерывности ga^O при г больше некоторого "радиуса" г0 (очень
малого, как окажется далее). Наконец, для
ц<г< оо, О<0<л, л < ф < л, - оо < х4 < оо,
(28.3.2)
ds2 = A (d02 + sin2 0 dф2),
(28.3.3)
266
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
г>г0 член с gu можно удалить введением новой переменной х'4 = х4 + \
(giJgJdr
(0, ф, г остаются без изменения). Отсюда dx4 =dx'4 - (gjgii) dr,
подстановка этого выражения в (28.3.4) уничтожает член с drdx'4 за счет
добавления двух новых членов с dr2, которые, однако, можно включить в
первый член gndr2 (изменив gn). После этого в ds2 останутся только
диагональные элементы; так как первые три члена положительны, а четвертый
отрицателен, ds2 можно записать в виде
ds2 = еа dr2 -f-ey(d02 + sin2 0 ^Ф2)-(dx4)2, (28.3.5)
где a, p, у-функции от г, а у xi опущен штрих.
Сделаем теперь последнее преобразование, заменив г на г' - = gv/2; тогда
еЗ заменится на еЗ', а еа (dr)2- на ea'(dr')2, где а' и Р'-функции от г'.
Снова опустив штрихи, в результате получим
ds2 - еа dr2 + г2 (d02 + sin2 0 dq>2)-еЗ (dx4)2. (28.3.6)
Эта форма была исходной для Шварцшильда.
Функции а (г) и Р (г) получаются теперь следующим образом. Вычисляют
трехиндексные символы Кристоффеля [pv, о] и {n°v}, затем компоненты
тензора Римана /?^Ра, а из них-сверткой - компоненты тензора Риччи RВсе
эти величины выражаются через a, р и их первые производные, так что,
полагая /?pv = О, мы получаем дифференциальные уравнения для определения
а (г) и Р(г). Подробности этих довольно-таки длинных вычислений читатель
может найти в любой книге по общей теории относительности (например,
Толмен Р. [1934] или Вебер [1961]). Оказалось, что
еЗ = е~а = 1 -rjr, (28.3.7)
где г0 - произвольная постоянная, которую называют радиусом Шварцшильда и
считают положительной. (Соответствующая карта с /""<0 сейчас появится.)
В § 28.2 было указано, что когда пространство-время является почти
плоским, метрику можно интерпретировать в терминах эквивалентного
(классического) гравитационного поля. Для г^>г" полученная выше метрика
эквивалентна полю Кулона с потенциалом
Ф " -GM/r,
где М - некоторая другая константа. Связь между константами М. и г0
выражается формулой
г о = 2GM./C2. (28.3.8)
28.3. Карты Шварцшильда
267
Применение метрики Шварцшильда к задачам Солнечной системы и к
астрономическим наблюдениям с целью проверки теории относительности
составляет важную главу теории относительности. Если в (28.3.8) М берется
равным массе Солнца (2-1033 г), то л0 " 3 км. Для г 5>> г0 пространство-
время почти совершенно плоское. Для точек внутри Солнца, т. е. для г <
Rqss 6.5- lO км, нужно использовать другую метрику - внутреннюю метрику
Шварцшильда, в которой учитывается, что тензор энергии-импульса Т^у
отличен от нуля. Так как л0 Rq, пространство-время оказывается почти
