Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 110

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 162 >> Следующая

различные виды парадокса Олберса, возникающие при рассмотрении
бесконечной и асимптотически равномерно населенной вселенной. Однако в
1922 г. А. А. Фридман показал, что замкнутые модели можно получить и при
А=0. С тех пор А обычно берут равной нулю.
Далее в этой главе А = 0; мы ограничимся также рассмотрением пустых
областей пространства-времени, где Т^ = 0. Так как g,n'gnv = 4, то в этом
случае свертка (28.2.6) показывает, что скалярная кривизна R = 0;
следовательно, гравитационное уравнение сводится к уравнению Rllv = Q.
Поэтому многообразие Эйнштейна определяется как четырехмерное
многообразие сигнатуры 2, в котором тензор Риччи R^v всюду равен нулю.
Возможны, конечно, и более общие определения, и их иногда обнаруживают;
см., например, А. 3. Петров [1969].
Задача, рассматриваемая в данной главе, состоит в том, чтобы найти такое
расширение данного многообразия Эйнштейна (обычно задаваемого одной
картой), при котором получилось бы большее многообразие Эйнштейна; точнее
говоря, требуется найти максимальное в некотором смысле расширение
данного многообразия.
Расширения такого рода играли важную роль в развитии теории
относительности. Знаменитое решение Шварцшильда для поля вокруг
сферической массы, которое будет обсуждаться в следующем параграфе,
явилось указанием на существование сингулярности пространства-времени на
определенном расстоянии от центра (так называемом радиусе Шварцшильда).
Природа этой "сингулярности" была предметом многочисленных дискуссий в
период создания теории относительности. Теперь известно, что эта
сингулярность является сингулярностью всего лишь используемой
координатной системы и что многообразие может быть расширено с
привлечением дополнительных координатных карт до многообразия без
сингулярностей, исключая центральную точку. Ясно, что "решение" уравнений
Эйнштейна необходимо понимать как некоторое многообразие, а не просто как
одну формулу для линейного элемента.
28.3. КАРТЫ ШВАРЦШИЛЬДА
В 1916 г. К. Шварцшильд нашел стационарное сферически симметрическое
решение уравнения Эйнштейна R^lv = 0 для пустого пространства, на больших
расстояниях асимптотически совпадающее с плоской метрикой Минковского.
Это решение - некоторое многообразие, состоящее из одной карты, которая
будет сейчас
264
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
описана; она, вероятно, представляет пространство-время вокруг
центральной сферической массы.
Утверждение о стационарности решения означает, что можно подобрать такие
координаты этой карты, что тензор g^v окажется не зависящим от одной из
координат, скажем от х4, которую можно интерпретировать как время. Ясно,
что при этом gu должно быть отрицательным, тогда как квадратичная форма
gjkdxJ dxk, получающаяся при подстановке dx4 = 0, должна быть
положительно определенной.
Утверждение о сферической симметрии означает, что существует некоторая
непрерывная группа G преобразований данного многообразия, не
затрагивающих х4, которая изоморфна группе вращений 50(3) и относительно
которой метрика инвариантна. Предполагается, что на больших расстояниях
преобразования из G принимают вид обычных вращений в пространстве х1, х2,
х3; с другой стороны, больше мы ничего не можем о них сказать, поскольку
у нас нет теории нелинейных представлений групп. Например, мы не можем
утверждать, что существует точка многообразия (центр вращения),
инвариантная относительно всех преобразований из G; в действительности
такой точки в данном многообразии нет.
Предполагается, что многообразие Л48, получаемое при фиксировании
некоторого значения х4, асимптотически (на больших расстояниях) является
евклидовым в том смысле, что М3 содержит некоторую карту, координатная
область Na которой состоит из всех таких точек R3, что
(х1у + (х3)2 + {хзу > а\ (28.3.1)
где а - константа, а метрический тензор gjh асимптотически совпадает с
6jh на больших расстояниях в N3. Предполагается, что хотя бы на больших
расстояниях найдется семейство концентрических сфер, инвариантных
относительно всех преобразований из группы G. Рассмотрим геодезическую,
начинающуюся в точке Р на одной из таких сфер 50, идущую по направлению
нормали к 50 внутрь этой сферы и продолженную внутрь сферы настолько,
насколько это возможно в данной карте. Она инвариантна относительно тех
вращений, которые оставляют точку Р на S0 неподвижной, поскольку
инвариантна метрика; следовательно, геодезические отображаются в
геодезические, но рассматриваемая геодезическая однозначно определяется
ее начальным направлением в Р. Если подобные геодезические, выходящие из
всех точек Р сферы So, продолжены внутрь на фиксированное расстояние, то
их конечные точки образуют инвариантную поверхность, или сферу Si, и,
следовательно, эти геодезические можно использовать для построения
отображения 50 на Si; в частности, сферические координаты 0, ф на 50
определяют координаты 0, ф на Su преобразующиеся при преобразованиях из
группы G точно так же, как
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed