Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
oivJdyi +dtfjldyf'+ дЩ/ду1 = 0, (27.9.7)
где кружки над Г указывают на то, что коэффициенты связности выражены
через геодезические координаты у1, ..., уп.
4. Покажите, что для гладкого векторного поля xij
V; kl- С/; ft; t + Vj, I. ft)= V. (Rmlkj+ Rmk,j) om. (27.9.8)
5. Покажите, что в начале геодезических координат
dtkildyl = V3 (Rmijk+ Rmkji)- (27.9.9)
Последняя формула показывает, что тензор Римана содержит всю внутреннюю
информацию о пространстве в непосредственной окрестности любой точки Р,
задаваемую коэффициентами связности и их первыми производными в Р. А
именно при должном выборе
27.10. Тензор Римана в римановом многообразии
249
системы координат (геодезических координат) можно обратить в нуль в точке
Р\ следовательно, они не несут никакой внутренней (не зависящей от выбора
координат) информации, а все их первые производные определяются по
формуле (27.9.9) тензором Римана. Подобным же образом в следующем
параграфе мы покажем, что при наличии метрического тензора g;-k тензор
Римана дает и всю внутреннюю информацию, выражаемую компонентами
метрического тензора g/k и их первыми и вторыми частными производными в
точке Р.
27.10. ТЕНЗОР РИМАНА В РИМАНОВОМ
ИЛИ ПСЕВДОРИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
Предположим теперь, что на многообразии определен метрический тензор gkl.
Тогда коэффициенты связности Гг/г, входящие в определение (27.9.2)
тензора Римана, совпадают с символами Кристоф-феля второго рода ¦{/';),
определенными формулами (26.6.10) и (26.6.11). В этом случае
непосредственные вычисления показывают, что тензор Римана RiJkl (с
опущенным первым индексом) можно выразить через gkl и его производные:
R. - 1 ( d*gik *g/i \
ijU 2 у OxJ дхк дх1 дх1 dxJ дх1 дх1дхк)
+ gP4([iK p][U> p][jl, ?]) , (27.10.1)
где квадратные скобки обозначают символы Кристоффеля первого рода (см.
(26.6.10)).
Число независимых компонент этого тензора меньше п*, потому что из
формулы (27.10.1) вытекают следующие свойства симметрии:
RiJkl= RjiM - Rijlk = Rkli/< (27.10.2)
R/iki + R;'ki/ + Ru/k = U- (27.10.3)
На основании этих соотношений мы сейчас покажем, что число независимых
компонент тензора Римана равно
п"(па-1)/12, (27.10.4)
что для размерностей п=2, 3, 4 составляет соответственно 1, 6, 20.
Действительно, из трех соотношений (27.10.2) следует, что ненулевые
компоненты можно записать (с заменой знака, если нужно) в виде Rijhi
с iC/ и ?</, причем если (ij) и (kl) рассматривать как
двузначные n-ичные целые числа, то (ij)^(kl). Число допустимых
значений (ij) или (kl) равно тогда п(п-1)/2=т, а число допустимых пар
(ij), (kl) есть
т(т-f 1)/2 =п(п- 1) (п2~п-f 2)/8. (27.10.5)
250
Г л. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
Далее, если не все t, /, & и / различны, то (27.10.3) сводится к
некоторой комбинации предыдущих тождеств (27.10.2), а если они различны,
то можно без потери общности предположить, что i<Zj<i <Zk<Zl, так как для
любой перестановки i', /', k', /' величин i, j, k, I тождество (27.10.3)
для t, j, k, l можно получить из этого же тождества для i', /', k', I',
используя тождества (27.10.2). Поэтому число независимых тождеств типа
(27.10.3) равно л (л-1)(л-2)х X (л-3)/4!, а вычитание его из (27.10.5)
как раз и дает (27.10.4). Можно доказать, что Rijki не удовлетворяет
никаким другим алгебраическим тождествам, не зависимым от (27.10.2) и
(27.10.3).
Как было указано в предыдущем параграфе, свернутый один раз тензор Римана
/?*,•*/ дает тензор Риччи
Rjk = Rlm. (27.10.6)
В римановом или псевдоримановом многообразии этот тензор симметричен: Rjk
- Rk/. Двойная свертка тензора Риччи с метрическим тензором дает
скалярную кривизну Римана
R = gJkRfk- (27.10.7)
Ковариантная производная тензора Римана удовлетворяет тождеству Бианки
Ri'kl; т + Ri/lm; k + Rijmk', l = (27.10,8)
что легко проверить на основании (27.10.1), если воспользоваться
геодезическими координатами в окрестности любой точки, поскольку в них
ковариантные производные становятся обычными производными в этой точке.
Внутреннее произведение последнего равенства и gikgJl имеет
вид
-Rxm + RhM* + RlmM=0.
Здесь второе и третье слагаемые равны между собой, а первое в точности
совпадает с -dR/dxm. Отсюда следует, что симметрический тензор
Rik = Rik-Rgik, (27.10.9)
фигурирующий в уравнении поля Эйнштейна, имеет нулевую дивергенцию:
ZA:/ = 0, LjKk = 0. (27.10.10)
Рассмотрим теперь кратко условия, при которых аффинно связное
многообразие можно превратить в риманово многообразие путем введения
метрики, согласованной со связностью, т. е. условия, при которых для
заданных коэффициентов связности ГЬ(*\ хп) (1ы=Гу найдутся такие функции
gkl (х1, ...,хп)
27.10. Тензор Римана в римановом многообразии
251
(для которых gkl = glk), что = {/,}, т. е. такие, что
И=4 fe- + T+^gr)- (27.10.11)
где, как всегда, (grm)-матрица, обратная к матрице (grm). Это
равенство можно разрешить относительно dgks/dxl и получить
dgks/dx (= ёгЛ, + grJb (27.10.12)
По определению ковариантной производной это равенство в точности
